88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן
מתוך Math-Wiki
משפט קנטור על רציפות במ"ש
המשפט
תהי כך ש-
קבוצה קומפקטית ו-
רציפה ב-
, אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)
הוכחה
נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-
.
זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: , ולכל
נסמן את
בהתאם:
.
לכן לכל k מתקיים:
כיוון שכל הנקודות ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה
שמתכנסת לנקודה
שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).
נשים לב ש- . מתוך הנתון ש- f רציפה ב-
נקבל ש-
אך אם כך,
בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש-
. משל