שיחה:88-222 תשעד סמסטר ב נוביק
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
שאלות
המרחב [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math]
בתרגול האחרון הגדרנו את: [math]\displaystyle{ l_\infty=\{(x_n)|\ \forall n\in \mathbb{N}:x_n\in \mathbb{R} \wedge sup|x_n|\lt \infty \} }[/math]
(דמיינו שיש מסביב להגדרה סוגריים מסולסלים, משום מה זה לא מצייר לי אותם. גם בכל ה-[math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] אמורים להיות סוגריים מסולסלים...)
כלומר, [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math] הוא מרחב של סדרות ממשיות חסומות.
אחר כך הגדרנו סדרה [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] על ידי: [math]\displaystyle{ e_1=(1,0,0,0,...) }[/math] [math]\displaystyle{ e_2=(0,1,0,0,...) }[/math] [math]\displaystyle{ e_3=(0,0,1,0,...) }[/math] וכן הלאה.
ואז התבקשנו להראות ש-[math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] לא מתכנסת ב-[math]\displaystyle{ l_\infty }[/math] (למרות שהיא כן מתכנסת רכיב-רכיב).
אבל, למיטב הבנתי, [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] בכלל לא שייכת למרחב [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math], כי איבריה לא ממשיים (לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] סדרת הרכיבים ה-[math]\displaystyle{ i }[/math]-ים היא ממשית, אבל [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] היא סדרה וקטורית). לא?...
- הסדרה [math]\displaystyle{ \{e_n\}_{n\in \mathbb N} }[/math] אכן לא שייכת ל [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math] היא מוכלת בו וזה מה שצריך. כלומר לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ e_n\in l_\infty }[/math]. תמיד כשמדברים על התכנסות של סדרה במרחב מטרי לנקודה אז הסדרה אמורה להיות מוכלת במרחב. אצלנו מדובר בסדרה של סדרות כי כפי שאמרת אכן כל איבר במרחב עפ"י ההגדרה הוא סדרה חסומה.--מני (שיחה) 06:22, 9 במרץ 2014 (EDT)
הערה לגבי הכתיבה המתמטית:
- שימו לב שהסינטקס של סימן השייכות הוא "in\"
- על מנת לעשות סוגריים מסולסלים בתוך הפורמט המתמטי, יש לשים לפניהם את הלוכסן: "{\"
--לואי (שיחה) 07:47, 9 במרץ 2014 (EDT)
אוקיי, הבנתי ואתה צודק. הסדרה לא צריכה להיות שייכת למרחב, אלא האיברים שלה.
אבל עכשיו יש לי שאלה נוספת...כל איבר (במרחב וכן בסדרה [math]\displaystyle{ \{e_n\}_{n\in \mathbb N} }[/math]) הוא סדרה או וקטור אינסופי. אז איך מוגדרת המטריקה במרחב? מה המרחק, נניח, בין [math]\displaystyle{ e_1 }[/math] לבין [math]\displaystyle{ e_2 }[/math]?
- למעשה [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math] זו הקבוצה של הסדרות הממשיות החסומות עם נורמה ספציפית שהיא הסורפמום של הערכים המוחלטים של איברי הסדרה. תמיד כשנדבר על מטריקה בסיטואציה של מרחב נורמי נתכוון למטריקה המושרית מהנורמה. המרחק בין שני איברים הוא הנורמה של ההפרש. בוקטור [math]\displaystyle{ e_1-e_2 }[/math] יש 1 ברכיב הראשון, מינוס 1 בשני ואפס בכל השאר. לכן הסופרמום של הערכים המוחלטים הוא 1. אם ממש רוצים לכתוב פורמלית כנראה שצריך לעבוד עם אינדקסציה כפולה-
[math]\displaystyle{ d(e_1,e_2)=||e_1-e_2||=\sup\{|(e_1-e_2)_k|:k\in \mathbb N\}=1 }[/math]. באופן כללי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי הרכיב הקיי של איבר [math]\displaystyle{ e_n }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ (e_n)_k=1 }[/math] אם [math]\displaystyle{ n=k }[/math] ואפס אחרת. כך גם אפשר להגיע ל [math]\displaystyle{ \sup\{|(e_1-e_2)_k|:k\in \mathbb N\}=1 }[/math] לפי מה שציינתי קודם. --מני (שיחה) 18:36, 9 במרץ 2014 (EDT)
הבנתי. תודה!
עזרה בהוכחת כיוון במשפט מההרצאה
שלום.המרצה נתן משפט בו יש תכונות שקולות לגבי נקודות הצטברות. אחד מהכיוונים שהוא אמר להוכיח ואני לא בטוחה איך לעשות זאת זה כדלקמן:
"אם יש סדרת נקודות {x_n} שבה p לא מופיע וגם x_n->p אזי בכל סביבה של p יש אינסוף נקודות של A.
הנתונים הם:M מרחב מטרי ו-A מוכל ב-M. ובנוסף p שייכת ל-A
- כמה דברים שיכולים לעזור
- אני חושב שיש טעות בנתונים. הסדרה מוכלת בA והנקודה p שייכת ל-M ולא בהכרח ל-A.
- להשתמש בהגדרה של התכנסות דרך סביבות.
- קבוצה פתוחה פחות סגורה זה למעשה חיתוך של שתי פתוחות ולכן פתוחה.
- כל נקודון במ"מ הוא קבוצה סגורה וכנ"ל מספר סופי של נקודות.
- מחלק מהשלבים הקודמים נקבל שסביבה של נקודה p פחות קבוצה סופית של נקודות השונות מp גם היא סביבה של p. שוב אפשר להיעזר בשלב הראשון.
--מני (שיחה) 12:04, 18 במרץ 2014 (EDT)
דווקא אין טעות בנתונים.אתה יכול לראות זאת בהרצאה השנייה של ד״ר נוביק בדרופבוקס בגרסת PDF.
- קובץ שמועלה מן הסתם יכול להכיל טעויות וזה המקרה כאן. מה שטענתי הוא שלא צריך להניח שp שייכת ל-A ההוכחה עובדת בכל מקרה אם הנקודה בקבוצה או לא. לגבי מה שנאמר בהרצאה אני מניח שיש טעות כאן בקובץ עצמו. אם תסתכלי בסיכומי הרצאות מלפני שנתיים שהועלו לאתר תראי שp שייכת ל-M. ככלל נקודת הצטברות של קבוצה לא צריכה להשתייך לקבוצה.--מני (שיחה) 16:39, 18 במרץ 2014 (EDT)
תרגיל 2, שאלה 4
הסבר קצת יותר מפורט בשאלה 4 תרגיל בית 2:האם זה פשוט לקחת כל רכיב בסדרה ולמצוא לה סופרמום ואז זה הגבול? או שאולי אני מתבלבלת
תודה מראש
- תחילה שימי לב שבכל רכיב אין מדובר בסופרמום. למשל, ברכיב השלישי האיבר הראשון יהיה [math]\displaystyle{ \frac{4}{3} }[/math], שהוא יותר גדול מהגבול, ולכן הגבול הוא אינו הסופרמום.
- שימי לב שהתכנסות רכיב-רכיב אינה מספיקה להתכנסות. מצד שני, זה כן אפשרי להשתמש בגבול רכיב-רכיב על מנת לקבל אינטואיציה/לנחש את הגבול.
- הערה כללית: להבא נא להפריד שאלות שלא קשורות זו לזו. תודה :)
--לואי (שיחה) 11:41, 18 במרץ 2014 (EDT)
תרגיל 4 שאלה 2
הפרכה לשקילות א' וג':
R מ"מ, [math]\displaystyle{ S=\{ \} }[/math]
באופן ריק, כל סדרה [math]\displaystyle{ \{x_n\} \subseteq S }[/math] השואפת ל3 היא קבועה לבסוף.
והרי 3 אינה שייכת לא לS ולא ל[math]\displaystyle{ S-S' }[/math]
- שימו לב שנתון כי [math]\displaystyle{ x\in S }[/math] מה שאומר ש-[math]\displaystyle{ S }[/math] אינה ריקה. --לואי (שיחה) 13:42, 20 במרץ 2014 (EDT)
שאלה שקשורה לשאלה 3 סעיף ג בתרגיל בית 4
איך אפשר להסביר שהרציונלים הם מרחב שלם?
- הרציונליים עם המטריקה הדיסקרטית הם מרחב מטרי שלם כי כל קבוצה יחד עם המטריקה הדיסקרטית היא מ"מ שלם.
- הוכחה לכך בתרגיל בית 2 שאלה 3.
- קבוצת הרציונליים עם המטריקה הרגילה (האוקלידית) המושרית מהממשיים אינה מרחב מטרי שלם כפי שראיתם באינפי 1.
--מני (שיחה) 09:55, 9 באפריל 2014 (EDT)
שאלות לגבי הבוחן
לגבי ניסוחי הגדרות חייב ללמוד את כל מה שעשינו עד ההרצאה האחרונה גם אם לא ראינו זאת בתרגול?הגענו עד קשירות.שאלות יילקחו מתרגולים ותרגילים אפילו מסעיפים מעורבים?
תכונה שקולה לקומפקטיות
בהרצאה 3 הוכחנו את השקילות הבאה:
[math]\displaystyle{ M }[/math] קומפקטי אמ"מ לכל תת קבוצה אינסופית [math]\displaystyle{ A\subseteq M }[/math] יש נקודת הצטברות ב-[math]\displaystyle{ M }[/math].
בטעות ניסיתי להוכיח כיוון אחד באופן הבא (והחזק יותר):
אם [math]\displaystyle{ M }[/math] קומפקטי, אז לכל תת-קבוצה אינסופית [math]\displaystyle{ A\subseteq M }[/math] יש נקודת הצטברות ב-[math]\displaystyle{ A }[/math].
הטיעון שלי הוא כזה (והוא מאד דומה למה שעשינו בהרצאה):
תהא [math]\displaystyle{ A\subseteq M }[/math] תת-קבוצה אינסופית, ונניח בשלילה שאין לה נקודת הצטברות השייכת לה. אז לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] יש [math]\displaystyle{ \epsilon _a }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ B(a,\epsilon _a)\cap A=\left \{ a \right \} }[/math]. לפי הלמה השימושית: [math]\displaystyle{ \bigcup _{a\in A} B(a,\epsilon _a)= A }[/math] וזה כיסוי פתוח של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אבל כל קבוצה בכיסוי מכילה נקודה בודדת ומכיוון ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] אינסופית אין תת-כיסוי סופי, בסתירה לכך ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] קומפקטית.
והשאלה היא: האם יש טעות בטיעון? או שהטענה החזקה יותר הנ"ל נכונה אף היא?
- נראה לי שיש לך שם איזה איחוד אחד מיותר (הראשון), לא? ובכל אופן, השתמשת בעובדה ש-A קומפקטית, אבל זה לא נתון. נתון שהמרחב כולו קומפקטי.--לואי (שיחה) 14:07, 12 באפריל 2014 (EDT)
נכון, תודה. (והורדתי את האיחוד המיותר...)
שאלה לגבי טענה קטנה בלי הוכחה שראינו בתרגול
בתרגול האחרון הייתה טענה שעבור טופולוגיות A ו B כך שA מוכלת בB אזי התכנסות סדרה מסוימת ל-x כלשהו לפי טופולוגיה B גוררת התכנסות לפי טופולוגיה A.למה זה נכון?
- זה נובע מהגדרת התכנסות במ"ט ומכך שכל סביבה של הנקודה בטופולוגיה הקטנה היא סביבה שלה בטופולוגיה הגדולה יותר. --מני (שיחה) 04:18, 16 באפריל 2014 (EDT)
שאלה לגבי שאלה 4 בתרגיל בית 4
לא כל כך הבנתי את ההסבר לכך ש-A לא קומפקטי. חוץ מזה, זה נראה שיש טעות כלשהי בסימונים של האותיות(אולי במקום X כתבתם A או משהו כזה). איפה שכתוב (למה?) בפתרון לא הבנתי את הסיבה. מהטענות והמשפטים של ההרצאות לא מצאתי את ההסבר לזה.
- אין בפתרון טעות. קומפקטיות היא תכונה של מרחב מטרי אז כשנשאלת השאלה אם A קומפקטי או לא צריך להבין שיש לבדוק האם תת המרחב המטרי A הוא קומפקטי.
- מוצאים תת קבוצה אינסופית של A שאין לה נקודות הצטברות בתת המרחב המטרי (A,d) ומסיקים עפ"י משפט ש (A,d) לא קומפקטי.
- תת הקבוצה האינסופית של A ללא נקודות הצטברות ב(A,d) היא A עצמה.
- הסבר אפשרי-כל נקודת הצטברות שיש לA ב(A,d) תהיה גם נקודת הצטברות של A ב -
(X,d) כי כל סדרה שכל איבריה שונים מA השואפת לנקודה [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] ב-(A,d) תשאף גם ב(X,d) כי המרחקים מוגדרים אותו הדבר (מדובר בת"מ מטרי). אבל נקודת ההצטברות היחידה של A ב-(X,d) היא x שכמובן אינה יכולה להיות נקודת הצטברות של A ב (A,d) שכן x אינה שייכת למרחב (A,d). נקודת הצטברות של קבוצה במ"מ לא צריכה להיות שייכת לקבוצה אבל בוודאי לפי הגדרה צריכה להיות שייכת למרחב המטרי.--מני (שיחה) 03:58, 20 באפריל 2014 (EDT)
מטריקות שקולות
האם יש איזושהי דרך להראות ששתי מטריקות על מ״מ שקולות ?
ראינו בהרצאה שהמטריקה האוקלידית שקולה למטריקה אינסוף (זו שנובעת מנורמה אינסוף) וכנימוק נאמר כי אפשר להכניס ריבוע בכל עיגול ועיגול בכל ריבוע (כדורים במ״מ האלו).
מה בעצם טענו פה ? איך זה מראה שהמטריקות שקולות ?
תודה.
- להראות שלכל איבר איקס ולכל סדרה מתקיים: הסדרה מתכנסת לאיבר איקס במטריקה אחת אם ורק אם היא מתכנסת לאיבר איקס במטריקה השניה ולפי דעתי יש לכם דוגמה כזו בש"ב עם מטריקה ששוקלה לדיסקרטית.
- אופציה אחרת להראות שכל פתוחה לפי מטריקה אחת פתוחה לפי מטריקה השניה וההיפך.
- נניח שבין כל עיגול ללא השפה ונקודה השייכת לעיגול (כדור פתוח במישור לפי האוקלידית) אפשר להשחיל ריבוע (ללא השפה)
שמרכזו הנקודה שהוא כדור פתוח במטריקת אינסוף (מה שגיאומטרית אנו יודעים שאפשרי). מזה ינבע שעיגול הוא קבוצה פתוחה במטריקת אינסוף. בגלל שבין כל ריבוע ונקודה השייכת לריבוע אפשר להשחיל עיגול שמרכזו הנקודה ניתן להסיק שכל ריבוע הוא קבוצה פתוחה במטריקה האוקלידית. מכיון שכל פתוחה במ"מ היא איחוד (במקרה של קבוצה ריקה איחוד ריק) של כדורים פתוחים נקבל שאוסף הפתוחות לפי כל אחת מהמטריקות מתלכד ולכן הן שקולות. . --מני (שיחה) 06:18, 22 באפריל 2014 (EDT)
סדרות קושי
לאחר שעסקנו בהרצאה על סדרות קושי ניתנה דוגמא של מ״מ בלי סדרות קושי: המספרים הטבעיים עם המטריקה הדיסקרטית.
אבל לפי דעתי בכל מרחב מטרי יש סדרות קושי. אפשר לקחת סדרה קבועה או קבועה לבסוף ואז היא תתכנס ותהיה סדרת קושי.
יכול להיות שפשוט לא הבנתי את המרצה נכון לגבי הדוגמא ? והאם הטענה בשורה מעל נכונה ?
תודה.
- המרצה לפי דעתי נתן דוגמה למ"מ ולסדרה במרחב המטרי ללא תתי סדרות קושי והדוגמה היא המרחב שציינת והמטריקה שציינת עם סדרת הטבעיים. הוא לא התכוון שבמרחב המטרי הזה לכל סדרה אין תתי סדרות קושי.
- בכל מ"מ יש סדרת קושי לפי ההסבר שנתת. --מני (שיחה) 06:22, 22 באפריל 2014 (EDT)
מ״מ סופי הוא קומפקטי ?
האם כל מ״מ סופי הוא גם קומפקטי ?
כי קיימת הגדרה שקולה לקומפקטיות שאומרת שמ״מ הוא קומפקטי אם לכל תת קבוצה אינסופית יש נקודת הצטברות וטענה זו מתקיימת במקרה שלנו (מ״מ סופי) באופן ריק, לא ?
תודה.
אני לא מתרגלת אבל למיטב הבנתי התשובה היא כן.
גם מההגדרה ה"מקורית" של קומפקטיות- שלכל כיסוי פתוח יש תת-כיסוי סופי- אפשר לראות שמרחב סופי הוא קומפקטי באופן טריוויאלי משהו (לכל נקודה במרחב אפשר לקחת קבוצה שמכילה אותה מהכיסוי, והרי לנו תת-כיסוי סופי, פשוט כי מספר הנקודות הוא סופי).
אני מקווה שהבנו נכון :)
תודה !