88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1
תוכן עניינים
חזקות ושורשים
1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: , מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.
2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת להיות השורש ה-n-י של x:
3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא:
חוקי חזקות
- לכל x מתקיים
- לכל x מתקיים ובפרט
- לכל x שונה מאפס מתקיים
הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.
תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש: ולכן נסמן נציב את t במשוואה ונקבל עם הפתרונות , לכן עלינו לפתור שתי משוואות:
1) נעשה מכנה משותף ונקבל נסמן ב- ונקבל משוואה קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.
2) שוב נעשה מכנה משותף ונקבל לאחר שנציב , פתרונות למשוואה הזאת הם ולכן פתרון כללי הוא
הגדרת הלוגריתם
לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר .
תכונות
אם אזי:
1)
2)
3) b מספר כלשהוא.
4)
הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא .
חוקי לוגריתמים
1)
2)
3)
4)
5) וגם
הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא כאשר
תרגיל: פתרו את פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים ואז נקבל ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס.
ערך מוחלט ואי שוויון
הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה:
מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות
תכונות של ערך מוחלט
1) לכל x מתקיים
2) אם ורק אם
3)
4)
5)
6) אי שוויון המשולש:
תכונות של אי שוויונים
- נניח ש-x,y אי שליליים אזי
- נניח ש-x,y אי שליליים אזי