אורך עקומה
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־16:57, 27 בינואר 2016 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
תהי פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור
. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).
עבור חלוקת הקטע , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:
![\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}](/images/math/b/0/e/b0e7e9ad303c17f546ad6463349c2716.png)
כאשר הנקודות מקיימות
. אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.
הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה . כיון שנתון כי
רציפה, גם
רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.
על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.