אי-שוויון הממוצעים
"נהוג לומר כי אם פותרים בעיה מסוימת אחת באופן מסוים אז זה תיחכום, ואם פותרים שתיים בעזרת אותו רעיון אז זו כבר שיטה."
(אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, פרופ' בנו ארבל.)
תוכן עניינים
אי-שוויון הממוצעים
יהיו מספרים חיוביים אזי:
כאשר משמאל מופיע הממוצע ההרמוני, במרכז הממוצע ההנדסי (גאומטרי) ומימין הממוצע החשבוני (אלגברי).
שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים .
טענת עזר
ראשית, נוכיח את הטענה הבאה:
- יהיו ממשיים חיוביים המקיימים .
- אזי , ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.
עבור n=1 הטענה טריוויאלית.
יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.
יהיו ממשיים חיוביים המקיימים .
כיוון ש הינו המספר הקטן ביותר, ואילו הינו המספר הגדול ביותר נובע כי ואילו .
נסמן , אזי , ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי ושיוויון אם"ם כולם שווים 1.
לכן אם נוכיח , נקבל .
כעת נוכיח את אי השיוויון הרצוי
- .
זה נכון אם"ם
זה שקול לאי השיוויון
הוא נכון כיוון ש ואילו .
כעת שיוויון גורר כי ולכן .
לכן וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כי .
הוכחת אי שיוויון הממוצעים
נגדיר ונבחין כי:
לכן לפי טענת העזר נקבל כי:
ולכן ושיוויון אם"ם .
כלומר שיוויון אם"ם
כעת נציב את המספרים ונקבל כי:
כלומר
ושיוויון אם"ם .
דוגמאות גאומטריות
היקפי מלבן וריבוע בעלי שטח זהה
יהיו מלבן וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המלבן גדול מהיקף הריבוע.
נסמן את שטח הצורות בs, ואת צלעות המלבן ב.
אזי היקף המלבן הינו ואילו היקף הריבוע הינו .
לפי אי שיוויון הממוצעים נקבל כי:
היקפי ריבוע ומשולש בעלי שטח זהה
יהיו משולש וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המשולש גדול מהיקף הריבוע.
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
שטח המשולש זהה לשטח המלבן ושניהם שווים ל.
היקף המשולש הינו והיקף המלבן , שהוא כאמור גדול מהיקף הריבוע (או שווה לו במקרה ש).
כעת צלעות המשלוש גדולות או שווה לגובה, ולפחות אחת מהן גדולה ממש (במקרה שמדובר במשולש ישר זוית, הגובה שווה לאחת הצלעות).
המחשה גאומטרית
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
נניח כי אורך הקטע AD הינו a ואורך הקטע DB הינו b.
הנקודה O הינה מרכז המעגל, שרדיוסו הרי הוא הממוצע החשבוני.
נרים את הגובה CD.
נשים לב כי הזוית C היא ישרה כיוון שהיא מונחת על הקוטר, ולכן המשולשים ADC ו CDB דומים.
מכאן .
לכן וקיבלנו ש הרי הוא הממוצע ההנדסי.
לבסוף, נעביר גובה DF, ונקבל כי המשולשים CFD ו CDO דומים.
לכן
ולכן הרי הוא הממוצע ההרמוני.
כלל המנה
תהי סדרה חיובית כך ש אזי .
הממוצע החשבוני
תהי סדרה אזי .
כלומר הממוצע החשבוני של סדרה מתכנסת במובן הרחב, מתכנס לאותו הגבול.
הוכחה עבור :
יהי .
קיים כך שלכל מתקיים כי
נסמן .
אזי
נבחר כך שלכל מתקיים כי .
סה"כ, לכל מתקיים כי כפי שרצינו.
הוכחה עבור :
יהי .
קיים כך שלכל מתקיים כי .
נסמן .
אזי
נבחר כך שלכל מתקיים כי
וביחד נקבל כי לכל מתקיים
הממוצע ההרמוני
תהי סדרה אזי
כלומר הממוצע ההרמוני של סדרה מתכנסת במובן הרחב, מתכנס לאותו הגבול.
שימו לב שדרשנו שהסדרה חיובית, אחרת ייתכן צמצום שיוביל לאפס במכנה.
הוכחה עבור :
, לכן .
לכן
ולכן
הוכחה עבור :
לכן
ולכן
הוכחה עבור :
לכן
ולכן
הממוצע ההנדסי
לפי אי שיוויון הממוצעים, נובע כי אם אזי
הוכחת כלל המנה
ביבליוגרפיה
- אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.
- The Cauchy-Schwarz Master Class, J. Michael Steele.