משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11
לאחר שהוכחנו את משפט 2 בהרצאה הקודמת נקבל:
מסקנה: נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי
.
הוכחה: נבנה עידון משותף
ז"א. לפי משפט 2 מתקיים
.
![]()
מסקנה נוספת: עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה: נקח חלוקה P של
. לפי כל חלוקה Q של
מסקנה 1 אומרת
. נקבע את P ונקח סופרימום על כל Q ונקבל
.
לבסוף נקח אינפימום על P ונקבל עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int_a^b f(x)dx=\inf_P\overline S(f,P)=\overline\int_a^b f(x)dx
.
תוכן עניינים
משפט 3
תהי f כנ"ל. אזי וכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \overline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)
.
הוכחה
הטענה הראשונה אומרת שלכל קיים
כך שאם
אז
. ברור כי אכן מתקיים
. כעת יהי
נתון. לםי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של
כך ש-
ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של
כך ש-
. כעת נגדיר
. כיוון ש-R עידון של Q,
ונובע ש-
. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספת r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-
. לכן נוכל להסיק
.
ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה.
משפט 4
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרלית ב- אם"ם
ואם כן
.
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א . לכן, ממשפט 3,
. ע"פ אריתמטיקה של גבולות
וכן
.
עכשיו נניח ש-. אם כן אז ממשפט דרבו
. ולכן f אינטגרבילית.
משפט 5
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם לכל
קיימת חלוקה P של
כך ש-
.
הוכחה
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 . לכן עבור
קיים
כך שלכל P המקיימת
מתקיים
.
לצד השני, נניח שלכל קיימת חלוקה P כך ש-
מתקיים
. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים
. לפי הנתון נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): 0\le\overline\int_a^b f\le\underline{\int}_a^b f<\varepsilon
. זה נכון לכל
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \overline\int_a^b f\le\underline{\int}_a^b f=0
, כלומר f אינטגרבילית ב-
.
משפט 6
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
תחילה נעיר שלפי משפט וירשטרס כל f רציפה ב- חסומה שם. כעת יהי
. כיוון ש-
רציפה בקטע סגור
היא רציפה במ"ש, לכן קיים
כך שאם
ו-
אז
. כעת תהי P חלוקה כלשהי של
כך ש-
. לפיכך
כאשר
ו-
. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס, לכל k קיימים
כך ש-
ו-
. כעת עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \lex לא מוכרת): |y_k-z_k|\lex_k-x_{k-1}=\Delta x\le\lambda(P)<\delta
לכן
לבסוף ...
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-.
משפט 7
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
נוכיח לפונקציה עולה. לכל מתקיים
ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של
:
ונבנה
כעת, אם נבחר כל (ובפרט הם שווים) נקבל ...
נשאיף
ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-
</math>, {{משל}