הכללה: אם [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math] ואם f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f }[/math]. הוכחה באינדוקציה.

מוסכמות:

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^a f=0 }[/math]
אם [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] ואם f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] נרשום [math]\displaystyle{ \int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f }[/math]

עם מוסכמות אלה יתקיים: [math]\displaystyle{ \int\limits_a^c=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f }[/math]. באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל: אם [math]\displaystyle{ c\lt a\lt b }[/math] אז לפי משפט 8 [math]\displaystyle{ \int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f }[/math]. נבדוק: [math]\displaystyle{ \int\limits_a^c f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_b^c f=-\int\limits_c^b f }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f }[/math], מה שנכון כי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f }[/math].

משפט 9

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. עוד נניח ש-f רציפה ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אזי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. נגדיר [math]\displaystyle{ c=a+\frac\varepsilon{2\Omega} }[/math] גרף (1). לפי הנתון f רציפה ב-[math]\displaystyle{ [c,b] }[/math]. לכן נוכל לבחור חלוקה P של [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \frac\varepsilon2 }[/math]. כעת גדיר חלוקה Q של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ Q=\{a\}\cup P }[/math]. עוד נגדיר [math]\displaystyle{ M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\} }[/math]. נובע ש-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-underline S(f,P)=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\lt \Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2=\varepsilon }[/math]. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מסקנה 1

המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].

מסקנה 2

נניח ש-f חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות [math]\displaystyle{ x_0,x_1,\dots,x_n }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math] אזי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

הוכחה

עבור כל k, f חסומה ב-[math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] ורציפה ב-[math]\displaystyle{ (x_{k-1},x_k) }[/math]. לפי מסקנה 1 f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math]. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k] }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הגדרה: אומרים ש-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] "רציפה למקוטעין" ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון. גרף (2) נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת ומונוטונית למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אך היא אינטגרבילית שם שם.

אינטגרביליות לפי רימן

נניח ש-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נבחר חלוקה P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]. עוד נבחר מספרים [math]\displaystyle{ c_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math] ונכנה ב-P' את התת חלוקה [math]\displaystyle{ a\le c_0\lt c_1\lt \dots\lt c_n\le b }[/math]. ז"א [math]\displaystyle{ a=x_0\le c_0\le x_1\le c_1\le\dots\le c_n\le x_n=b }[/math]. בהתאם לכן נבנה סכום רימן [math]\displaystyle{ S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k }[/math] כאשר לכל k מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=x_k-x_{k-1} }[/math]. גרף (3) [math]\displaystyle{ S(f,P,P') }[/math] מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.

נעיר שעל חלוקה אחת P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן [math]\displaystyle{ S(f,P,P') }[/math]. עם זאת יתקיים תמיד [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) }[/math]. יתר על כן, [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P') }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P') }[/math].

ההגדרת רימן: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P)\to0 }[/math] כל סכומי רימן [math]\displaystyle{ S(f,P,P') }[/math] שואפים לגבול אחד, שיסומן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx }[/math].

משפט 10

תהי f מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx }[/math] לפי רימן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx= }[/math] לפי דרבו.

הוכחה

תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]: [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) }[/math]. כעת נשאיף [math]\displaystyle{ \lambda(P)\to0 }[/math]. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\to\int\limits_a^b f }[/math] לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-[math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P') }[/math] קיים ושווה ל-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math]. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')=\int\limits_a^b f }[/math]. לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P') }[/math]. אם כן הוא גם שווה ל-[math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\int\limits_a^b f }[/math]. מצאנו [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f }[/math]. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו: [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b f }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

באופן דומה נסיק [math]\displaystyle{ \lim\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} \inf_{P'} S(f,P,P')=\underline{\int}_a^b f }[/math]

משפט 11

נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:

[math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b\Big(f(x)+c g(x)\Big)\mathrm dx=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx }[/math]
אם [math]\displaystyle{ f(x)\le g(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx }[/math] (מונוטוניות). בפרט אם [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)\le0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le0 }[/math] (חיוביות)
[math]\displaystyle{ |f(x)| }[/math] אינטגרבילית ומתקיים [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_a^b |f(x)|\mathrm dx }[/math] ואם [math]\displaystyle{ |f(x)\le m }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\right|\le m(b-1) }[/math]
אם [math]\displaystyle{ f(x)=m }[/math] (פונקציה קבועה) אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx= m(b-1) }[/math]

...

[math]\displaystyle{ =\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k }[/math]. נשאיף [math]\displaystyle{ \lambda(P)\to0 }[/math] כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx }[/math]. עצם קיום הגבול אומר ש-[math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b\Big(f(x)+cg(x)\Big)\mathrm dx\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx }[/math]