קוד:השפעת שינוי בסיס על הבסיס הדואלי

נרצה לראות כיצד שינוי הבסיס משפיע על הבסיס הדואלי, ונמצא קשר בין מטריצות המעבר המתאימות.

\begin{thm}

יהיו $B,\tilde{B}$ בסיסים של $V$, יהיו $B^*,\tilde{B}^*$ הבסיסים הדואליים המתאימים של $V^*$, תהי $C$ מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$\tilde{B}$ ותהי $C'$ מטריצת המעבר מ-$B^*$ ל-$\tilde{B}^*$. אזי $C'=\left(C^{-1}\right)^t=\left(C^t\right)^{-1}$.

\end{thm}

\begin{proof}

נוכיח שמטריצת המעבר מ-$\tilde{B}^*$ ל-$B^*$ שווה ל-$C^t$. נסמן מטריצה זו ב-$C=\left(C'\right)^{-1}$.

נסמן $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$, $\tilde{B}=\left \{ w_1,\dots,w_n \right \}$, $B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \}$, $\tilde{B}^*=\left \{ \psi_1,\dots,\psi_n \right \}$. אזי $$C=\left(\begin{matrix} | & & |\\ \left[\varphi_1 \right ]_{\tilde{B}^*} & \cdots & \left[\varphi_n \right ]_{\tilde{B}^*}\\ | & & | \end{matrix} \right )= \left(\begin{matrix} \varphi_1\left(w_1 \right ) & \cdots & \varphi_n\left(w_1 \right )\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \varphi_1\left(w_n \right ) & \cdots & \varphi_n\left(w_n \right ) \end{matrix} \right )=$$ $$=\left(\begin{matrix} - & \left(\left[w_1 \right ]_B \right )^t & -\\ & \vdots & \\ - & \left(\left[w_n \right ]_B \right )^t & - \end{matrix} \right )= \left(\begin{matrix} | & & |\\ \left[w_1 \right ]_B & \cdots &\left[w_n \right ]_B \\ | & & | \end{matrix} \right )^t=C^t$$

הוכחנו $C=C^t$, ולכן $C'=\left(C \right )^{-1}=\left(C^t \right )^{-1}$.

\end{proof}