קוד:מרחב עצמי מוכלל והתמונה

הגדרנו את המרחב העצמי המוכלל כגרעין של האופרטור $\left(T-\lambda I\right)^n$. כעת הגיוני שנסתכל גם על התמונה של האופרטור, ונראה מה הקשר ביניהם.

\begin{definition}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, $\d\operatorname{im} V=n$, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ערך עצמי של $T$. נסמן $$I_\lambda=\operatorname{im}\left[\left(T-\lambda I\right)^n\right]$$

\end{definition}

\begin{lem}

\begin{enumerate}

\item $I_\lambda$ תת-מרחב אינווריאנטי תחת $T$.

\item $V=K_\lambda\oplus I_\lambda$.

\end{enumerate}

\end{lem}

\underline{תזכורת:}

ניזכר במשפט הדרגה מלינארית 1 לצורך ההוכחה.

יהי $E:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, אזי $\dim V=\dim\left(\ker T \right )+\dim\left(\operatorname{im} T \right )$.

\begin{proof}

\begin{enumerate}

\item כפי שציינו בהוכחת אחת הלמות הקודמות, $T$ מתחלף עם $T-\lambda I$ ועם כל חזקה שלו. לכן, אם $v\in I_\lambda$, כלומר קיים $x\in V$ שעבורו $\left(T-\lambda I\right)^n\left(x\right)=v$, אזי $$T\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=\left(T-\lambda I \right )^n\left(T\left(x \right ) \right )\in I_\lambda$$

\item נתחיל מלהוכיח ש-$K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$, כלומר שהסכום ישר.

נניח ש-$v\in K_\lambda$, $v\in I_\lambda$. אזי קיים $x\in V$ שעבורו $v=\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )$, וכן $\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=0$. נקבל $$\left(T-\lambda I \right )^{2n}\left(x \right )=0\Leftarrow x\in K_\lambda$$ לכן, $\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=0$, ולכן $v=0$ , ומכאן אכן $K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$.

כעת נרצה להוכיח שהסכום (הישר) אכן מכסה את המרחב כולו. לצורך כך, נסתכל על המימדים. ניקח $E=\left(T-\lambda I\right)^n$, ולפי התזכורת (משפט הדרגה להעתקות לינאריות), $$\dim V=\dim K_\lambda+\dim I_\lambda=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$$ מתקיים $K_\lambda\oplus I_\lambda\subseteq V$, וכן $\dim V=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$ לכן $V=K_\lambda\oplus I_\lambda$.

\end{enumerate}

\end{proof}