משתמש:אור שחף/133 - תרגול/26.6.11
השתנות חסומה
הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב- ותהי
חלוקה של
(
). נגדיר
. נתבונן בקבוצת כל המספרים
עבור כל החלוקות האפשריות P של הקטע. אם קבוצה זו חסומה נאמר של-f יש השתנות חסומה בקטע, והיא
.
משפט: פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע סגור חסומה בקטע. ההיפך אינו נכון - תתכן פונקציה חסומה בעלת השתנות בלתי חסומה.
דוגמה 1
קבעו האם בעלת השתנות חסומה.
פתרון
נשים לב כי f חסומה בקטע. נראה שבכל זאת היא בעל השתנות לא חסומה: נבחר את החלוקה![P=\left\{0,\frac1n,\frac1{n-1},\dots,\frac12,1\right\}=\{x_k\}_{k=0}^n](/images/math/a/9/0/a90e1bfe98e62bcd5b285867b8ad8844.png)
![[0,1]](/images/math/c/c/f/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)
![\begin{align}v(f,P)&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&=\left|f(0)-f\left(\frac1n\right)\right|+\sum_{k=2}^n\left|f\left(\frac1{k-1}\right)-f\left(\frac1k\right)\right|\\&=\left|0-\frac1n\cos(\pi n)\right|+\sum_{k=2}^n\left|\frac1{k-1}\cos(\pi(k-1))-\frac1k\cos(\pi k)\right|\\&=\frac1n+\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}+\frac1k\right)\\&>\sum_{k=2}^n\frac1k\\&\to\infty\end{align}](/images/math/7/a/5/7a5b3a3e9ddaab6f865af31b2bd737f4.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
משפט: פונקציה מונוטונית בקטע סגור היא בעלת השתנות חסומה בו.
משפט: השתנות חסומה שומרת על חיבור וכפל בסקלר: .
דוגמה 2
תהינה f ו-g בעלות השתנות חסומה ב-.
- הוכיחו כי המכפלה
בעלת השתנות חסומה.
- נתון שבנוסף קיים
כך ש-
לכל
. הוכיחו
בעלת השתנות חסומה בקטע.
פתרון
- נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן
אזי
f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמןולכן
.
- מתקיים
ולכן
דוגמה 3
הוכח או הפרך: אם f בעלת השתנות חסומה בכל קטע סגור המוכל בקטע הפתוח אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע הסגור
.
פתרון
ניתן דוגמה נגדית: נגדיר . ניתן לראות כי f עולה ממש בקטע הפתוח
ולכן בכל תת קטע סגור המוכל בקטע
. לפיכך f בעלת השתנות חסומה בכל תת קטע סגור של
, אבל היא אינה חסומה כאשר
ולכן אינה בעלת השתנות חסומה ב-
.