שימושי האינטגרל
דוגמה 1
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה והישר
.
פתרון
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: .
- דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב-
ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין
וכן
. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם
(לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא
.
- דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח
בין
ל-4 ושני שטחים שווים
בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא
דוגמה 2
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות .
פתרון
נקודות חיתוך:
-
-
- ברור כי ל-
אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא .
דוגמה 3
מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.
פתרון
נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה.
מדמיון משושלים נקבל
ולכן שטח חתך כזה הוא
. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר המשתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא
.
נפח גוף סיבוב
נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה .
דוגמה 4
חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה סביב ציר ה-x, עד לישר
.
פתרון
. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של
בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה,
.
דוגמה 5
מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.
פתרון
ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל ולכן בחצי המישור העליון
. הנפח הוא
.
דוגמה 6
מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים ו-
בקטע
.
פתרון
נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: , כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא
.
נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע נתון ע"י הנוסחה
.
דוגמה 7
חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י סביב ציר ה-y.
פתרון
לפי הנוסחה .
דוגמה 8
חשב את נפח התחום שמתחת ל- בקטע
המסתובב סביב ציר ה-x.
פתרון
.