תרגיל ברוח מבחן
נניח ש- במ"ש על I וש-
חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם
נקודתית ב-I.
פתרון
אם במ"ש ב-I אז נוכל לקחת
ולמצוא n מסויים כך שלכל
מתקיים
ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל
מתקיים
. לכן
. נתון ש-
חסומה, נניח
אזי
.
לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר ב-
. אזי
נקודתית וכל
חסומה ע"י n, אלא ש-
, שבוודאי לא חסומה.
הגדרה: נתונה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל
קיים
כך שאם
אז
ב-I.
משפט 5
סדרת פונקציות בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.
הוכחה
תחילה נניח שקיים במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי
נתון. לפי הנתון ש-
במ"ש ב-I, קיים
כך שאם
אז
לכל
.
כעת אם אז לכל
מתקיים
.
לצד השני, נניח ש- מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח
כלשהו ונעיר שסדרת המספרים
היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל
קיים
כך שאם
אז
לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול
. הדבר נכון לכל
וכך נוצרת פונקציה גבולית
. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי
נתון. עפ"י תנאי קושי יש
כך שלכל
מתקיים
לכל
. כעת נבחר
מסויים ועבור
כלשהו נשאיף
כלומר
הדבר נכון לכל
ולכל
. לכן הוכחנו ש-
במ"ש ב-I.
טורי פונקציות
נאמר שהטור מתכנס ל-
במ"ש על I אם
במ"ש על I.
הגדרה: הטור מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל
קיים
כך שאם
אז
לכל
.
משפט 6
הטור מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.
הוכחה
לפי הגדרה מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים
מתכנס במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם
קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל
קיים
כך שאם
אזי
לכל
, שמתקיים אם"ם
לכל
וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I.
משפט 7 (מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)
נניח שלכל n הפונקציה מוגדרת ב-I וחסומה שם:
לכל
. עוד נניח שהסכום
מתכנס ממש. אזי
מתכנס במ"ש על I.
הוכחה
נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור קושי במ"ש ב-I. לצורך זה יהי
נתון. כיוון ש-
מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים
כך שאם
אזי
או
(כי
). כעת אם
אז לכל
מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left|\sum_{k=m}^n f_n\right|\le\left|\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon
ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטורבמ"ש על I.
![]()
מסקנה
בתנאים של מבחן וירשטרס לכל
מתכנס בהחלט.
הוכחה
נקח כלשהו. לפי נתון לכל k
נתון ש-
מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה
מתכנס.
דוגמה
נוכיח שהטור ההנדסי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \infyt לא מוכרת): \sum_{n=0}^\infyt x^n
מתכנס נקודתית בקטעאבל לא במ"ש ונוכיח שאם
הטור מתכנס ב-
. תשובה: כבר הוכחנו שאם
אז
מתכנס ל-
. ההתכנסות אינה במ"ש כי לכל סכום חלקי
חסומה בקטע
.
. אם היה נכון ש-
במ"ש ב-
. היינו מסיקים שהפונקציה
חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. נותר להוכיח שאם
אז
במ"ש על
. ובכן בקטע
מתקייים
כאן
. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש-
מתכנס במ"ש ב-
.
משפט 8
נניח ש- עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה
כל
רציפה ב-
אז גם S רציפה ב-
x_0</math>.
הוכחה
לכל N הסכום החלקי סכום סופי של פונקציות רציפות ב-
.
מאינפי 1 ידוע ש- רציפה ב-
עבור כל N. נתון
במ"ש על I.
לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-.
מסקנה
בתנאים של משפט 8, אם כל רציפה ב-I כולו אז גם f רציפה ב-I כולו.
משפט 9
נניח במ"ש על
. עוד נניח שכל
אינטגרבילית ב-
. אזי S אינטגרבילית ב-
ו-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b</math\sum_{n=1}^\infty f> בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-<math>[a,b]
.
הוכחה
כרגיל נגדיר סכומים חלקיים ונתון
במ"ש על
.
לפי משפט 3
כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מתאנו שקיים גבול
לפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא
והוכחנו שהוא שווה
.
משפט 10
יהי טור של פונקציות רציפות ב-I. נניח:
- עבור
אחד לפחות הטור
מתכנס.
-
סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש לפונקציה g על I.
אזי מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים
. בפרט, בתנאים אלה
.
הוכחה
בהרצאה הבאה
דוגמה ממבחן
לכל נגדיר
. הוכיחו ש-f מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל
) ו-S בכלת נגזרת רציפה לכל
.
פתרון
בהרצאה הבאה