השתנות חסומה (המשך)
הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב- ותהי
חלוקה של
(
). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-
. כמו כן נגדיר את
, המסומן גם כ-
ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור
. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-
.
דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-.
משפט 1
נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב- ונגדיר
לכל נקודה ב-
. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.
הוכחה
נבחר חלוקה כלשהי P של שנקודותיה הן
. לכן
![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
g,h מונוטוניות עולות, לכן: | ![]() |
![]() |
||||
הטורים הללו טלסקופיים. | ![]() |
![]() |
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן .
משפט 2
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב-
כך ש-
.
הקדמה להוכחה
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן . כמו כן נגדיר לכל x את
ו-
. לכן תמיד
ומתקיים
ו-
. עתה נגדיר
ו-
. לכן
. עוד נגדיר
ו-
. נסמן
ו-
, לכן מתקיים
ו-
. לבסוף נעיר שלכל Q מתקיים
ולפיכך
. לבסוף, נשים לב ש-
(כי
ולכן
).
למה
בסימונים הנ"ל:
הוכחת הלמה
- מתקיים נסיק ש-
ולכן
. הראנו כבר ש-
ולכן מותר להעביר אגף:
. כמו כן נסיק ש-
ולכן
. עתה נעביר אגף לקבל
ולכן
.
- מתקיים
. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל
. כבר הראנו ש-
ולכן
.
הוכחה
לכל נגדיר
, כאשר
כאשר כל Q היא חלוקה של הקטע
. באופן דומה נגדיר
. לפי סעיף 1 של הלמה,
ולכן
. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן
ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-
ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם
מונוטונית עולה).
מסקנה 1
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי לכל
קיים
לכל
קיים
.
הוכחה
נגדיר g,h עולות כך ש-. קל לראות שהן חסומות ב-
(כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמתיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע.
מסקנה 2
תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
תהנה g,h מונוטוניות כך ש-. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע.