חזרה
דוגמה 1
מתכנס?
פתרון
נציב ןמתכנס לפי דיריכלה.
דוגמה 2
מצאו רדיוס התכנסות של .
פתרון
עפ"י דלאמבר דורשים שמתקיים אם"ם
.
דוגמה 3
לפונקציה g רציפה ב- נסמן
. נניח ש-
סדרת פונקציות רציפות,
במ"ש ב-
. הוכח או הפרך
.
הוכחה
יהי נתון. קיים
כך שלכל
מתקיים
לכל
. לכן
. מכאן ש-
ולכן לכל
מתקיים
. כמו כן לכל
ולכל
מתקיים
ולכן
בנקודה המקסימלית
של f מתקיים
יוצא שלכל
,
. לכן
ולכן
.
דוגמה 4
מצאו רדיוס התכנסות של .
פתרון
הטור מתכנס עבור כל x כך ש- כלומר
. ננחש שהגבול שואף ל-
(לפי אינטואיציה) ולכן נרחיב את השבר ב-
. אזי נחשב
. הדרישה להתכנסות היא ש-
ולכן
.
דוגמה 5
סדרת פונקציות בעלות השתנות חסומה ב-
קיים כך שלכל n מתקיים
. הוכח או הפרך: אם
במ"ש ב-
אז
.
פתרון
תשובה שגויה: נקח חלוקה כלשהי של
. לכל n מתקיים
. נשאיף
ולכן
באופן בלתי תלוי ב-P. לכן
.
דוגמה נגדית: "ידוע" שהפונקציה רציפה ב-
ובעלת השתנות בלתי חסומה בקטע. נגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \begin לא מוכרת): f_n(x)=\begin{ceses}0&0\le x\le\frac1{\pi n}\\x\sin(1/x)&\text{else}\end{ceses}
לכל n. נעיר שלכל n יש ל-השתנות חסומה. טענה: f_n\to f במ"ש ב-
. הוכחה: עבור
מתקיים
ואילו אם
מתקיים
, ששואף ל-0 ולכן ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 6
מצאו טור מקלורין של .
פתרון
נפרק לשברים חלקיים ונקבל . מצקיים
. מאידך
ו-
.
דוגמה 7
תהי f אינטגרבילית ב- ונגדיר
. צ"ל של-F יש השתנות חסומה ב-
.
פתרון
נקח חלוקה של
ואז
יש כאן חסם בלתי תלוי בחלוקה.
דוגמה 8
נגדיר סדרת פונקציות לכל
באינדוקציה
וכן
.
- הוכח שלכל
קיים
.
- חשב את
.
- האם
?
פתרון
- נקבע
.
טענה 1: הסדרה עולה.
הוכחה:
וכן
.
טענה 2: הסדרה
חסומה מלעיל.
גישה:
אז
ולכן
. מכאן ש-
. טענה: לכל n מתקיים
, הוכחה באינדוקציה:
.
כיוון שהסדרה עולה וחסומה קיים גבול
ולפי השיקול הנ"ל מתקיים
.
- מתקיים
. נגזור
. ננניח שאמנם
אם כן
ולכן
בתנאי ש-
. נוותר על הניסיון להוכיח זאת.
דוגמה 9
נתון טור פונקציות לכל
. להראות שהטור מתכנס לפונקציה בעלת נגזרת רציפה.
פתרון
נעיר שבקטע הפונקציה
עולה מונוטונית מ-
עד
. כעת אם
אז
יורד עם n ולכן
יורד עם n. לכן עבור
הטור הוא
כאשר
ו-
יורדת מונוטונית ל-0. ממבחן לייבניץ הטור מתכנס. עבור
הדיון דומה כי
פונקציה אי-זוגית. הטור הגזור הוא
. טענה: הטור הגזור מתכנס במ"ש על
. הוכחה: לכל
הטור טור לייבניץ ומתכנס, נניח ל-
. לפי לייבניץ
לכל
. כיוון שההפרש המקסימלי בין
לסכום החלקי שואף ל-0 נובע ממבחן ה-sup שהטור הגזור מתכנס במ"ש ל-g על
. נובע ממשפט 10 בהתכנסות במ"ש של טורים שהטור המקורי מתכנס במ"ש לפונקציה f גזירה כך ש-
לכל
. הטור האחרון הוא סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש, לכן g רציפה ב-
.
משפט
אם ואם
במ"ש I אז
מתכנס במ"ש ב-I. (ההוכחה כמו בדוגמה הקודמת)
דוגמה 10
מתכנס או מתבדר - .
פתרון
נעזר באינטגרציה בחלקים אזי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): a_n=\left[-\frac{\cos(n^2t)}{n^2t}\right]_{t=1}^2-\int\limits_1^2\frac{-\cos(n^2t)}{-n^2t^2}\mathrm dt=\frac1{n^2}\left(\frac{-\cos(2n^2)}2+\cos(n^2)\right)-\int\limits_1^2\frac{\cos(n^2t){t^2}\mathrm dt
. אזי
ולפי מבחן ההשוואה
מתכנס בהחלט.
דוגמה 11
נניח ש-F מוגדרת ובעלת נגזרת רציפה וחסומה ב-. עוד נניח ש-
מתכנס. הוכיחו כי
.
פתרון
ולכן
מתכנס. כמו כן