שיעור ראשון
שדות
הגדרה
קבוצה עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות- . (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
- קומוטטיביות/חילופיות-
- אסוציאטיביות-
- קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים . בנוסף מתקיים ש
- קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . לצורך קיצור הכתיבה נסמן (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
- קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה
- דיסטריביוטיביות/פילוג- . שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
תרגיל
יהי שדה . הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: , כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
פתרון
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.
לפי תכונה (4) מתקיים ש
לכן
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))
לפי תכונה (5) לאיבר קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל