תרגיל 1 להגשה ליום רביעי ה20 ביולי
הצרנות
- הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם):
- לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
- אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד () וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
- x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
- כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
- קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)
קבוצות
הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים , והשלמים מוכלים בממשיים ).
- הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB
(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא )
שקילות
הגדרה: טענות שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).
- הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש שקולות:
,
,
,
דרכי הוכחה
הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:
(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)
תרגיל שני
הגדרה: הגבול של הפונקציה f בנקודה x הינו L אם לכל סדרה המתכנסת לx ושאבריה שונים מx מתקיים שהסדרה מתכנסת ל-L.
(הגדרת גבול של סדרה היא כפי שלמדנו בשיעור)
- הצרן את ההגדרה לעיל
- הצרן את השלילה להגדרה (כלומר, מתי L אינו גבול הפונקציה בנקודה x)
יהי הפרדיקט האומר אדם x צעיר יותר מאדם y. ויהי הפרדיקט האומר שאדם x הינו שמח.
הצרן את הטענות הבאות:
- מבין כל שלושה אנשים, הצעיר ביותר הוא שמח.
- מבין כל שלושה אנשים שמחים, לפחות שניים הם באותו גיל
- בכל זוג יש לפחות אדם אחד שמח.
- קיים זוג בו שני האנשים שמחים רק אם קיים זוג אחר בו שני האנשים עצובים
- יש רק אדם אחד עצוב
- יש אדם שהוא הכי מבוגר
- אם יש אדם שהוא הכי מבוגר, הוא שמח
(שאלות נוספות יוספו בקרוב)