קואורדינטות
נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: , מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V.
משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי בסיס ל-V ויהי וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים אזי בהכרח . (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים .)
הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי וקטור הקואורדינטות של v לפי בסיס B, מסומן מוגדר להיות כאשר ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.
חשוב לזכור אם"ם
תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש אם"ם .
הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש בסיסים סטנדרטיים. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:
מרחב וקטורי | בסיס סטנדרטי |
דוגמא.
חשב את הקואורדינטות של הוקטור לפי הבסיס הסטנדרטי S של . למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
.
לפיכך .
דוגמא.
חשב את הקואורדינטות של הוקטור לפי הבסיס הסטנדרטי S של . קל לראות ש .
תרגיל
יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו וקטורים כלשהם. הוכח:
- בת"ל אם"ם בת"ל
- אם"ם
נוכיח תרגיל זה בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהוא נכון ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח .
דוגמא
האם הפולינומים