סכומי טורים
תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-, אז f אינטגרבילית ומתקיים . באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב- המתכנסת בנקודה אחת לפחות ל-. אם סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב- אז גזירה .
באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי טור של פונקציות רציפות ב- המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום , אזי טור המספרים מתכנס ומתקיים .
גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו פונציות גזירות רציפות ב- כך שהטור מתכנס ב- ל- אם טור הנגזרות מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים .
דוגמה 1
- הוכיחו שלכל מתקיים .
פתרון
ידוע ש- וש- (לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס: לכל . אם אזי מתכנס ולכן מתכנס במ"ש.
עתה יהי ונסתכל על הקטע מהצורה , שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן - חשבו .
פתרון
נעזר בסעיף 1. ברור כי נמצא בקטע , ולכן נציב: .
דוגמה 2
חשבו את סכום הטור עבור .
פתרון
נשים לב כי , ולפיכך מספיק לחשב את .
ראשית נוכיח שהטור מתכנס במ"ש ב-. יהי ולכן לכל . כמו כן מתכנס כי והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור מתכנס במ"ש ב-. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: . כמו כן, ברור כי , ולכן .
עתה, אם אזי ולבסוףדוגמה 3
מהו סכום הטור עבור ?
פתרון
נשים לב שאם נגדיר אזי . כמו כן . נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש- יתכנס במ"ש.
נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם אז יש ולכן . הטור טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי).
נסיק שהטור מתכנס במ"ש ולכן וגם . לסיכום , ולפיכך .
טורי חזקות
רדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא , והוא מתכנס בהחלט ב-. לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.
דוגמה 4
מצאו את תחום התכנסות של הטור .
פתרון
אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא . לכן רדיוס ההתכנסות הוא . ז"א כאשר הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות . עבור הטור הוא , שמתבדר כי הוא גדול מ-. עבור ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא .
דוגמה 5
מצאו את תחום ההתכנסות של .
פתרון
נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר . נקבל את הטור . במקרה הזה נצטרך לחשב (ולא סתם ). ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא . עבור הטור הוא , שגם שואף לאינסוף כי זוגי לכל . לסיכום, תחום ההתכנסות הוא .