יישומים של אינטגרציה (המשך)
-
שטח המטעפת של גוף סיבוב (ללא הבסיסים)
נחלק את הקטעלתתי קטעים
עבור כמה k-ים ובכל קטע נחסום חרוט קטום (חרוט קטום הוא חרוט שהוסר ממנו הקודקוד ע"י "חיתוך" חלק בעזרת מישור המקביל לבסיס). שטח המעטפת של החרוט הקטום הוא
כאשר
רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הנוצר בקטע
, כלומר
וכן
הוא אורך היוצר (יוצר של חרוט קטום הוא קו ישר המחבר בין נקודה על שפת אחד הבסיסים לנקודה הקרובה ביותר לה בשפת הבסיס השני). לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום
כאשרביטוי זה שואף ל-
וזה שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב
בין a ל-b סביב ציר ה-x.
דוגמה
נחשב את שטח המעטפת (השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקייםולכן
. השטח הוא
נשים לב כי שטח עיגול הוא
והיקפו
כמו כן נפח כדור הוא
ושטחו
. נסביר זאת באמצעות הסרטוט משמאל. אם A הוא שטח המעגל הפנימי ו-
היא תוספת השטח הדרושה ליצירת המעגל החיצוני אזי
, ז"א
. בגבול
זה מדוייק:
. ההסבר לכך שנגזרת נפח הכדור היא שטח הפנים דומה. לעומת זאת, עבור הריבוע
ההיקף הוא
והשטח -
: ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל עבור
ההיקף הינו
והשטח -
, ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.
נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: עפ"י דימיון משולשים
ולכן
. אותה חתיכת הגרף S מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח
(כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם
). ז"א, בכל קטע
שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קו באורך
יווצר שטח
. כעת, אם נסכם אינסוף קטעים לאורך הקטע
כך שלכל קטע
יבנה שטח כולל
, כפי שציפינו.
-
חישוב עבודה
בפיזיקה, כאשר כוח
קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה
. כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה
לאורך הקטע
בציר הזמן. נעשה חלוקה
. בכל תת קטע
,
תקבל מקסימום
ומינימום
ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע
(נקרא לה
) מקיימת
. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא
כאשר
. יש כאן
וכאשר
זה שואף לגבול אחד
.
-
העבודה שווה לשינוי באנרגיה הקינטית
החוק השני של ניוטון אומרואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה
(לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא
ותאוצתו
. לפי ניוטון
. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב
ולכן
. לכן העבודה שנעשית ע"י
בין a ל-b היא
ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.הסבר לנוסחה
: כאן מניחים ש-
ו-
. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת
. למדנו את כלל השרשרת
כלומר
.
מבוא לאינטגרציה נומרית
נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
-
אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור
לדוגמה, נחשבבדיוק של
: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה
:
כאשר
לאיזה c בין 0 ל-t. נציב
:
. לכן
. אנו זקוקים ל-n כך ש-
. לכל
מתקיים
ולכן השארית חסומה ע"י
. אכן, עבור
זה מספיק קטן. לפי זה
השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי- לא כל פונקציה גזירה מספיק פעמים כדי שנוכל לחשב
ל-n גדול די הצורך.
- יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.
- יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.
- לא כל פונקציה גזירה מספיק פעמים כדי שנוכל לחשב
-
קירוב עפ"י סכומי רימן
נניח ש-f רציפה בקטע. נקח
כלשהו ונעשה חלוקה שווה של
:
כאשר לכל k נגדיר
(כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן
. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה
ב-
ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: מתקיים
. בתוך הקטע הקטן
נסתמך על משפט לגראנז' לומר
עבור c בין x ל-
. נעביר אגף לומר
ולכן
.
היא התרומה של קטע זה לסכום רימן ו-
הוא הטעות. כעת, אם נסמן
נוכל להסיק
יש בסה"כ n קטעים כאלה ולכן השארית הכללית חסומה ע"י.