הגדרה
יהי שדה. ביטוי פורמלי מהצורה כאשר ו- נקרא פולינום במשתנה מעל . האיברים נקראים מקדמי הפולינום.
נניח כי אנו נאמר כי שני פולינומים הם שקולים אם עבור ו- עבור . מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.
כל פולינום שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד עם . המספר נקרא דרגת הפולינום ומסומן ב-. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות .
הערה: כל פולינום משרה פונקציה מ- לעצמו ששולחת את ל-. אם השדה סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.
אוסף הפולינומים מעל במשתנה יסומן ב-.
מגידירים על חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
- (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
הפעולות האלה הופכות את לחוג.
הערה: כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות.
תכונות
אם שדה, החוג הוא תחום אוקלידי. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך:
- לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י האלגוריתם של אוקלידס.
- תחום ראשי, כלומר כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד. אם האידיאל אינו 0, האיבר הזה הוא בעל דרגה מינימלית באידיאל (אם מתעלמים מפולינום ה-0).
- הוא תחופ פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים)
- פולינום שונה מ-0 הוא אי-פריק אם ורק אם הוא ראשוני.
- כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של הוא מקסימלי. בפרט, אם הוא ראשוני (או אי פריק) אז הוא שדה.