להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים.
(למתעניינים, קיימים אלגוריתמים לפירוק פולינומים מעל שדות סופיים ומעל הרחבות של הרציונליים. לא נגע בהם כאן.)
6 כללים\שיטות
(1) כל פולינום ממעלה 1 הוא אי פריק.
(2) פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא אי פריק אם ורק אם אין לו שורש.
דוגמא: אי פריק מעל כי אין לו שורשים בשדה.
(3) קריטריון אייזנשטיין:
- יהי חוג חילופי ו- אידיאל ראשוני. יהי כך ש:
- א.
- ב. לכל
- ג.
- אזי אי פריק ב-.
לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם הלמה של גאוס:
- יהי תחום פריקות יחידה עם שדה שברים ו- פולינום כך ש:
- א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי הוא 1.
- ב. קיימים כך ש-.
- אזי .
- בפרט, נובע שפולינום הוא אי פריק ב- אם ורק אם הוא אי פריק ב-.
דוגמא: אי פריק ב-. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב- ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-.