השינוי האחרון נעשה בֹ־3 בנובמבר 2011 ב־15:25

פירוק פולינום

גרסה מ־15:25, 3 בנובמבר 2011 מאת Ufirst (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים. (למתענ...")

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)

להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים.

(למתעניינים, קיימים אלגוריתמים לפירוק פולינומים מעל שדות סופיים ומעל הרחבות של הרציונליים. לא נגע בהם כאן.)


6 כללים\שיטות

(1) כל פולינום ממעלה 1 הוא אי פריק.

(2) פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא אי פריק אם ורק אם אין לו שורש.

דוגמא: x^3+x+1 אי פריק מעל \mathbb{Z}_2 כי אין לו שורשים בשדה.

(3) קריטריון אייזנשטיין:

יהי C חוג חילופי ו-P אידיאל ראשוני. יהי f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\in C[x] כך ש:
א. a_n\notin P
ב. a_i\in P לכל 0<i<n
ג. a_n\in P\setminus P^2
אזי f(x) אי פריק ב-C[x].

לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם הלמה של גאוס:

יהי C תחום פריקות יחידה עם שדה שברים F ו-f(x)\in C[x] פולינום כך ש:
א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי f הוא 1.
ב. קיימים g(x),h(x)\in F[x] כך ש-f(x)=g(x)h(x).
אזי g(x),h(x)\in C[x].
בפרט, נובע שפולינום f(x)\in C[x] הוא אי פריק ב-F[x] אם ורק אם הוא אי פריק ב-C[x].

דוגמא: 2x^5+6x^4+9x+3 אי פריק ב-\mathbb{Q}[x]. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם p=3 כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב-\mathbb{Z}[x] ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-\mathbb{Q}[x].