1) היה בתרגול (אוהד פתר), אך לא מופיע במערכי התרגול. לכן אעתיק את הפתרון לכאן:
א) נניח ש מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש .
לכל n קיים k כך ש- (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): k=\lfloor log_2{n} \right \rfloor ).
הסדרה יורדת ולכן .
נפעיל נימוק זה על התוצאה שקיבלנו, ונקבל ש .
נכפיל ב (חיובי) את אגפי האי-שוויון:
נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: \
ולכן לפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש - .
ב) דוגמה נגדית: . ממבחן העיבוי הטור מתבדר, אך בכל זאת .
ג) ניקח את הסדרה .
הטור מתכנס (טור גיאומטרי עם אפסים שלא משפיעים), אבל בכל זאת אינו מתכנס שכן יש לו תת סדרה ששווה 1 ובפרט שואפת לאחת (וידוע שאם סדרה מתכנסת לגבול אז גם כל תת סדרה שלה מתכנסת אליו).
2)א) נבדוק התכנסות בהחלט: ברור שהטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי, שכן שונה מ0.
הטור מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.
ב)