שאלה 1
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה
ב. הוכח/הפרך: אם אזי
פתרון
א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה כך שלכל מתקיים ולכן . סה"כ:
ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה , ובמקומות האי-זוגיים :
קל לראות כי , אבל לא קיים הגבול
שאלה 2
נניח כי f פונקציה רציפה ב- , גזירה ב- . בנוסף נתון כי והנגזרת מונוטונית עולה ב- .
א. הוכיחו כי ב- .
ב. הוכיחו כי הפונקציה מונוטונית עולה ב- .
פתרון
א. יהי . נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע . לכן קיימת נקודה כך ש:
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
כפי שרצינו.
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
שאלה 3
קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:
א.
ב. , כאשר , ו-
ג.
ד.
פתרון
א.
נפעיל את משפט הסנדביץ':
ב.
ידוע כי עבור ערכים חיוביים ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי אפס, ולכן מתכנס.
ולכן .
אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה הקטן מאחד, אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין אפס לאחד (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.
ג.
כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנג' כי לכן,
ד.
נגזור את המונה ואת המכנה לקבל:
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבל:
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.
שאלה 4
תהי
א. האם f רציפה במ"ש בתחום ?
ב. האם 'f רציפה במ"ש בתחום ?
ג. הוכח/הפרך: אם g גזירה ורציפה במ"ש ב- אזי נגזרתה 'g חסומה ב-