1.
ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה.
א
מופיע בתרגיל הבית
ב
קל להבחין כי לכל x בתחום מתקיים: . (חסומה כפול 0)
נראה שההתכנסות הינה במ"ש באמצעות מבחן הlimsup:
ולכן סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש ל0.
ג
לכן סדרת הפונקציות מתכנסת ל.
נראה שההתכנסות אינה במ"ש. נניח בשלילה ששהתכנסות במ"ש, אז מכיוון שמדובר בסדרה של פונקציות אינטגרביליות אמור להתקיים:
כאשר , ואפילו במ"ש.
אולם מתקיים,
ולכן מתקבלת סתירה להנחה שההתכנסות הינה במ"ש.
ד
מופיע בתרגיל הבית.
דרך אלטרנטיבית:
ראשית, נבדוק את ההתכנסות הנקודתית: .
על מנת להוכיח את ההתכנסות במידה שווה, נפצל את הבדיקה לשני קטעים: .
בקטע הסגור, נוכל להפעיל את משפט דיני (בדקו שכל התנאים אכן מתקיימים!).
בקטע הפתוח שנותר, נביט בסדרת הנגזרות ונוכיח שהיא מתכנסת במ"ש.
, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע .