דוגמה
מד״ר מסוג
כבר למדנו לפתור מד״ר מהצורה , והיום נלמד גם .
מקרה 1
נניח ש־. נסמן ולכן . נדרוש שהמקדמים החופשיים יהיו 0 בשני המקרים ולכן . נקבל , וזו מד״ר מהצורה , שאותה אנו יודעים לפתור.
דוגמה
נפתור . נציב כנ״ל ולפיכך עלינו לדרוש ש־ ומכך נובע . נסמן ואזעתה מציבים וקיבלנו את הפתרון בצורה של פונקציה סתומה.מקרה 2: נסמן ואז . נציב ואנו כבר יודעים לפתור זאת.
מד״ר לינארית מסדר I
וריאצית הפרמטרים
נניח שהפתרון הוא (במקרה ההומוגני) או (במקרה הלא הומוגני). נציב זאת במד״ר ונקבל ולכן . נותר לפתור את המד״ר
דוגמה
נתונה מד״ר עם תנאי התחלה . אזי ולכן, מפני שזו מד״ר לינארית מסוג I,כאשר . נציב את תנאי ההתחלה: , לכן .משוואות ברנולי
אלה מד״ר מהצורה . אם אז פתרון (רגולרי או סינגולרי). אם אזי אינו פתרון, לכן נוכל להתייחס למד״ר השקולה ולהציב . נקבל ואז , שהיא מד״ר לינארית מסוג I. לפיכן . לבסוף, .
עבור , פתרון פרטי (רגולרי), עבור זה פתרון סינגולרי, ועבור הוא אינו פתרון.
דוגמה
נפתור . עבור הסימנים הנ״ל ואז . נציב ואז , ולבסוף .
מד״ר מדויקת
. נניח שקיימת עבורה . לפיכך והמד״ר הופכת ל־ כלומר . אם היא קיימת אזי .
דוגמה
. לפיכך , כדרוש. מתקיים . נדרוש ש־ ואז . לבסוף נדרוש ש־ יקיים (נשים לב שניתן לבחור גם כל קבוע אחר מלבד 0, אבל שינוי בסה״כ יחליף את הקבוע ).
גורם אינטגרציה
אם נכפיל את אגפי המד״ר ב־ נקבל . לפיכך .
מקרה 1
תלוי רק ב־. לכן לפיכך . נשים לב ש־ תלוי רק ב־ אם״ם תלוי רק ב־.
מקרה 2
תלוי רק ב־. זה מתקיים אם״ם תלוי רק ב־, ואז .
דוגמה
נפתור את המד״ר . אזי . נשים לב ש־, כלומר תלוי אך ורק ב־, ולכן נגדיר . נכפיל את אגפי המד״ר ב־ ונקבל . המד״ר החדשה מקיימת , ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל.
הערה: נשים לב ש־ תלוי גם ב־ וגם ב־, ולכן הגדרת התלויה ב־ לא תועיל לנו.