פונקציה רציפה למקוטעין
הגדרה: הפונקציה תקרא רציפה למקוטעין אם:
- ל־
יש לכל היותר מס׳ סופי של נקודות אי־רציפות.
- בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדיים. כלומר, אם
אי־רציפות אזי
ו־
קיימים במובן הצר.
- ל־
הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.
תכונות
- סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
- הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.
לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־
.
משפט
סדרת הפונקציות היא מערכת אורתונורמלית ב־
.
הוכחה
נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג איברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל איבר היא 1:
הערה: נעזרנו ב־
דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים:
. עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.
באותו אופן ניתן להראות ש־.
עתה נראה שהנומה של כל איבר היא 1:
![\begin{align}\left\|\frac1\sqrt2\right\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\mathrm dx}{\sqrt2^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|sin(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}2\mathrm dx=\frac1\pi\left[\frac x2-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{x=-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}2\mathrm dx=1\end{align}](/images/math/2/1/d/21dffc7f19f133487dd39be60d62082c.png)
מערכת סגורה
הגדרה: תהי מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ
. המערכת תקרא סגורה ב־
אם
.
מסקנה: ניתן להציג כל בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האיברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.
לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה: כאשר
טור פורייה
תהי . הטור
כאשר
נקרא טור פורייה של
ויסומן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f(x)\~{}\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)
.
פונקציות זוגיות ואי־זוגיות
תכונות:
- מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
- מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
- מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.
משפט
תהי .
- אם
זוגית אז טור פורייה שלה הוא
. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
- אם
אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא
. טור כזה נקרא "טור סינוסים".
תרגיל
מצא טור פורייה של בקטע
.
פתרון
ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקייםולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f(x)\~{}-\frac12+\sum_{n=1}\frac6{(2n-1)\pi\sin((2n-1)x)
. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האיבר שבהתחלה.
תרגיל
מצא טור פורייה של ב־
.
פתרון
אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)\mathrm dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}n\end{bmatrix}=2\left[-\frac{x\cos(nx)}n\right]_{x=0}^\pi+\frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}n\mathrm dx=\frac2\pi\left(\frac{-\pi(-1)^n}n+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_{x=0}^\pi=\frac{2(-1)^{n+1}}n
, כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): x\~{}\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}n\sin(nx)
.
תרגיל
נתונה . לכל
נגדיר
. עברו אילו ערכים של
מקבלת
את ערכה המינימלי?
פתרון
נשים לב ש־![G(a,b,c)=\|f(x)-{\color{Blue}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\|^2](/images/math/d/d/3/dd3f78b44f2146eac42545356076973e.png)
![f](/images/math/8/f/a/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png)
![G(a,b,c)](/images/math/8/a/4/8a4b66218eee9a6ea8c554d64f559bce.png)
נתייחס למרחב הלינארי ולאיבר
. מתקיים
אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא
. לכן,
.