הגדרת נקודה חשודה
תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x
סיווג נקודות חשודות
משפט. תהי f פונקציה הגזירה ברציפות n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי
אזי:
- אם n+1 זוגי וגם
אזי a נקודת מינימום מקומי
- אם n+1 זוגי וגם
אזי a נקודת מקסימום מקומי
- אם 1+n אי זוגי אזי a נקודת פיתול
הוכחה.
לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:
אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים
לכן, אם n+1 זוגי וגם לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה
ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:
שכן תמיד עבור n+1 זוגי.
כלומר אם אזי x הינה נקודת מינימום
באופן דומה, אם אזי x הינה נקודת מקסימום
אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.
כיוון שסימן קבוע בסביבה של a, סה"כ מצד אחד
ומהצד השני
.
אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-a ולכן המשיק הוא , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול