משפט הקיום והיחידות
נתון עם תנאי התחלה
שיטת פיקארד
מתחילים עם וממשיכים עם
. אזי
.
משפט הקיום והיחידות למערכת מד״ר מסדר ראשון בצורה נורמלית
תהי פונקציה וקטורית רציפה ומקיימת תנאי ליפשיץ ב־
בתיבה
. אזי למערכת המד״ר
יש פתרון אחד ויחיד ב־
כאשר
ו־
. עתה
.
הוכחה
נגדיר סדרת פונציות כך ש־
ו־
. לכל
מתקיים
- הפונקציות
מוגדרות היטב, כלומר
. נוכיח באינדוקציה על
:
עבורהטענה טריוויאלית שכן
. עתה נניח נכונות עבור
:
. לכן
מוגדרת היטב בתיבה וכן רציפה עבור
עפ״י ההגדרה.
- סדרת הפונקציות
מתכנסת במ״ש ב־
. ניתן לכתוב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \phi_{m,k}=\sum_{m=1}^\infty (\phi_{m,k-\phi_{m-1,k})+\phi_{0,k}
. הפונקציה קבועה ולכן הטור מתכנס במ״ש אם הסכום מתכנס במ״ש. מתקיים
. נניח
ונסמן
. אזי לפי תנאי ליפשיץ
. נסכום על
ואז
. נסמן
,
. נוכיח באינדוקציה נוספת שלכל
מתקיים
. עבור
נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): |\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k(t,\vec y_0)\mathrm dt\right\le H(x-x_0)
ולכן. נניח נכונות עבור
ואז
. כלומר
. הטור
מתכנס ל־
ולכן סדרת הפונקציות
מתכנס במ״ש עבור
לפונקציה
.
-
פתרון של המד״ר: לפי ההגדרה
. נשאיף
ואז
. אזי
ולכן
פתרון של המד״ר.
………
הערה: וכן
………
………