מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

מד״ר מסדר 1

• מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה [math]\displaystyle{ M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dx=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \exists y_0:\ N_1(y_0)=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ y\equiv0 }[/math] פתרון, ואם [math]\displaystyle{ \exists x_0:\ M_2(x_0)=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\equiv0 }[/math] פתרון. אחרת [math]\displaystyle{ \int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0 }[/math].
• נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'=f(ax+by) }[/math]. אז נציב [math]\displaystyle{ z=ax+by }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y'=\frac{z'-a}b }[/math].
  • הכללה: נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'=f\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right) }[/math] . אם [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ \begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix} }[/math]. אחרת נבחר [math]\displaystyle{ \lambda=\frac Aa=\frac Bb }[/math] ונציב [math]\displaystyle{ z=ax+by }[/math].
• מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'=f\left(\frac yx\right) }[/math]. אזי נציב [math]\displaystyle{ z=\frac yx }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y'=z'x+z }[/math].
• מד״ר לינארית: נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'+p(x)y=q(x) }[/math]. אם היא לינארית־הומוגנית אזי [math]\displaystyle{ y=c\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx} }[/math], ובכל מקרה [math]\displaystyle{ y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx }[/math].
• משוואת ברנולי: נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ z=y^{1-n} }[/math], כאשר אם [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ y\equiv0 }[/math] פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־[math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math]), אם [math]\displaystyle{ 0\lt n\lt 1 }[/math] אז פתרון סינגולרי, ואם [math]\displaystyle{ n\lt 0 }[/math] אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: [math]\displaystyle{ y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx} }[/math].
• מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0 }[/math] היא מדויקת אם״ם יש [math]\displaystyle{ U }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \mathrm dU }[/math] שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם [math]\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} }[/math].
  • אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־[math]\displaystyle{ \mu }[/math] כך שתהפוך למדויקת. [math]\displaystyle{ \mu }[/math] תלויה רק ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] אם״ם [math]\displaystyle{ a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q }[/math] תלויה רק ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx} }[/math]. היא תלויה רק ב־[math]\displaystyle{ y }[/math] אם״ם [math]\displaystyle{ b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P }[/math] תלויה רק ב־[math]\displaystyle{ y }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy} }[/math].
• משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0 }[/math]. הפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ y(x)=y_1(x) }[/math] פתרון אזי [math]\displaystyle{ y(x)=y_1(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_1(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_1(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1} }[/math] הפתרון הכללי.
• נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0 }[/math] ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math]. אזי קיימות פונקציות [math]\displaystyle{ f_k }[/math] שעבורן [math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0 }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ F(y,y')=0 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x=\frac yz+\sim\!\!\!\!\!\!\!\int\frac y{z^2}\mathrm dz+a }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם [math]\displaystyle{ y=\varphi(t) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z=\psi(t) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ F(x,y')=0 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ואז [math]\displaystyle{ y=zx-\sim\!\!\!\!\!\!\!\int x\mathrm dz+a }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם [math]\displaystyle{ x=\varphi(t) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z=\psi(t) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt }[/math].

מד״ר מסדר 2

• בהנתן מד״ר [math]\displaystyle{ y''=f(x,y') }[/math] או [math]\displaystyle{ y''=f(y,y') }[/math] נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ z'=f(x,z) }[/math] או [math]\displaystyle{ zz_y'=f(y,z) }[/math], בהתאמה. מתקיים [math]\displaystyle{ x=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y=\int z\mathrm dx }[/math].