אינטרגלים
נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.
האינטגרל המסויים מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.
האינטגרל הלא מסויים הוא פונקציה קדומה , כלומר פונקציה המקיימת .
במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים כאשר F קדומה ל f.
שיטות לחישוב אינטגרלים
אינטגרציה בחלקים
נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:
כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי
ביחד נקבל:
ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:
תרגילים:
- לכן ביחד
- ביחד
אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)
לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:
ולכן מתקיים
נבצע את החלפת המשתנים:
נגזור את שני הצדדים לקבל
ולכן
(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה )
ביחד
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את שני הצדדים
ביחד
חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים
דוגמה 1
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה והישר .
פתרון
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: .
- דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב- ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין וכן . קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא .
- דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח בין ל-4 ושני שטחים שווים בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא
דוגמה 2
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות .
פתרון
נקודות חיתוך:
- ברור כי ל- אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא .