מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/11

חזרה למערכי השיעור

פירוק פולינומים

לכל פולינום [math]\displaystyle{ p(x) }[/math], אם [math]\displaystyle{ p(a)=0 }[/math] אזי הפולינום מתחלק ב[math]\displaystyle{ (x-a) }[/math]

פירוק פולינום ריבועי:

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c = a\Big(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)\Big(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big) }[/math]

לפולינומים אחרים נשתמש בנוסחאות כפל מקוצר או ננחש שורש, ואם נצליח נחלק בו.

דוגמא:

[math]\displaystyle{ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) }[/math]

חילוק פולינומים

נביט בפולינום [math]\displaystyle{ p(x)=x^3-4x^2+2x+1 }[/math] ונשים לב כי [math]\displaystyle{ p(1)=0 }[/math] ולכן נחלק ב[math]\displaystyle{ x-1 }[/math]

אלגוריתם לחילוק פולינומים

א. חלק את המונום הגבוה של הפולינום המחולק במונום הגבוה של הפולינום המחלק

[math]\displaystyle{ \frac{x^3}{x}=x^2 }[/math]

ב. כפול את התוצאה בפולינום המחלק, וחסר מהפולינום המחולק

[math]\displaystyle{ x^3-4x^2+2x+1 - x^2[x-1]= -3x^2+2x+1 }[/math]

ג. חזור לשלב א' כאשר הפולינום המחולק הוא התוצאה מסעיף ב'. סכום חלוקות המונומים מסעיף א' הוא המנה

[math]\displaystyle{ \frac{-3x^2}{x}=-3x }[/math]

[math]\displaystyle{ -3x^2+2x+1 - (-3x)[x-1]= -x+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{-x}{x}=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ -x+1 - (-1)[x-1] = 0 }[/math]

ביחד מתקיים: [math]\displaystyle{ x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1) }[/math]

פירוק לשברים חלקיים

חשב את האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx }[/math]

על מנת לחשב את האינטגרל נפרק לשברים חלקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x(x-1)(x-2)}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} }[/math]

נבצע מכנה משותף

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-1)(x-2) +Bx(x-2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)} }[/math]

נשווה את המונים בין שני השברים כיוון שהמכנים שווים:

[math]\displaystyle{ 1 = (A+B+C)x^2 + (-3A-2B-C)x + 2A }[/math]

ולכן מהשוואת המקדמים של החזקות השונות של x מקבלים את המשוואות הבאות:

[math]\displaystyle{ A+B+C=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ -3A-2B-C=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2A=1 }[/math]

לאחר חישוב הקבועים אנו יכולים לחשב את האינטגרל.

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx=\int\Big(\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}\Big)dx= A\cdot ln(x) +B\cdot ln(x-1) + C\cdot ln(x-2) + D }[/math]