בלוק ז'ורדן
בלוק ז'ורדן הינו מטריצה ריבועית מהצורה
לדוגמא,
- ,
נזכר בסימון של סכום ישר של מטריצות, לדוגמא:
משפט ז'ורדן
תהי A מטריצה ריבועית, כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן. בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.
הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת
אלגוריתם לז'ירדון מטריצה
תהי A מטריצה כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים.
- מצא את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב
- עבור כל ע"ע מצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל באופן הבא:
- נסמן ב k את החזקה של הגורם האי פריק בפולינום המינימלי
- נביט במטריצה ונבחר את עמודות מספר המהוות בסיס למרחב העמודות
- נפתור את מערכת המשוואות
- אחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה
- שים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.
דוגמאות
ז'ירדון של מטריצה ניליפוטנטית
מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:
- ראשית, נחשב את הפולינום האופייני , כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית
- שנית, נמצא את הפולינום המינימלי , בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3
- כעת נמצא בסיס ל מהצורה באופן הבא:
- נבחר עמודות של המטריצה המהוות בסיס ל-
- כל עמודה i שבחרנו ניתן להציג כ-
לכן בסיס למרחב העמודות הינו
- כעת המסלול הוא חלק של הבסיס המז'רדן משמאל לימין. שימו לב שסדר הוקטורים בבסיס המז'רדן חשוב מאד.
- השלב הבא הוא להשלים את הבסיס שמצאנו () לבסיס למרחב מהצורה באופן הבא:
- נבחר בסיס למרחב העמודות
- נפתור את המערכת על מנת למצוא בסיס ל
- נשמיט וקטורים על מנת שלא תהא תלות לינארית בבסיס שבחרנו עד כה
בדוגמא שלנו, העמודה הראשונה, השנייה והחמישית מהוות בסיס למרחב העמודות של A:
כעת נפתור את המערכת , זהו בדיוק מרחב האפס של המטריצה שעמודותיה הן :
כיוון שאלו המקדמים אנו מקבלים את בסיס ל :
הערה: שימו לב ש כיוון שזו העמודה החמישית
כיוון ש אנו משמטים איבר זה ונשארים עם
- המסלול משלים לנו את הבסיס המז'רדן.
סיכום
הבסיס המז'רדן הינו
נסמן בP את המטריצה שעמודותיה הן איברי הבסיס
אזי (לא במפתיע) מתקיימת המשוואה הבאה:
כלומר זו צורת הז'ורדן של המטריצה A.
ז'ירדון של מטריצה עם ע"ע יחיד
מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:
- ראשית נמצא את הפולינום האופייני , כלומר 2 הינו הערך העצמי היחיד
- לפי משפט קיילי המילטון ולכן ניליפוטנטית.
- נמצא לה צורת ז'ורדן
- לכן צורת הז'ורדן של המטריצה A הינה , כאשר הבסיס המז'רדן הוא אותו בסיס המז'רדן את .
- כעת , לכן נמצא בסיס ל
- העמודה הראשונה, השנייה והחמישית פורסות את מרחב העמודות של המטריצה ולכן הבסיס הינו
- בסיס זה מייצר שלושה מסלולים מאורך שתים, ולכן מצאנו מיד בסיס מז'רדן:
ושוב, הפלא ופלא, מתקיים: