שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם
אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ
)
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש
לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן
חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת
כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו
מתקיים
בגלל שהטור
מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם קבוצות חסומות מלעיל אז
הוכחה: נוכיח שהמספר מקיים את התכונות של
- תכונה א': חסם מלעיל של
. הוכחה:
אם אז ניתן לכתוב
כאשר
.
היות ו ו
מתקיים
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי איזשהוא חסם מלעיל של
נניח בשלילה ש
אז נקבל ש
ולכן קיים כך ש
מכאן נקבל
ולכן קיים כך ש
ולכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
לכן בהכרח מתקיים
לסיכום: הוכחנו שהמספר מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן . מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח ו
מתקיים שלכל
(ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל
).
אבל
שתי הערות:
א) כמעט לכל פירושו: לכל
פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים כך שהטענה מתקיימת לכל
.
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם ו
אז
.
שאלה 3
סעיף א
נשים לב שבסכום זה יש מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב
אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
בגלל ש (כאשר
)
ברור ש
ולכן
בצורה דומה נגדיר
ויתקיים
ו
לכן לפי כלל הסנדויץ
סעיף ב
כאשר
ו
.
נשים לב ש
ולכן
- טענה: לכל
מתקיים
הוכחה: באינדוקציה, ידוע כבר כי אבל אם
בהכרח יתקיים
כי
ו
.
- טענה: עבור
מתקיים
.
כלומר הסדרה יורדת אם .
הוכחה: אם אז
ולכן
(נשים לב שכאן משתמשים בכך ש
)
קיבלנו שהחל מ כלשהוא, הסדרה היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע.
בגלל שמספר סופי של איברים לא משנה את גבול הסדרה, נקבל ש מתכנסת (כי החל מנקודה מסוימת היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע).
נותר רק למצוא את גבולה.
נניח ש
וברור ש
ולכן מתקיים
לכן הגבול הוא .