משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

סעיף ב

נשים לב ש

[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) }[/math]

זה ממוצע של הערכים

[math]\displaystyle{ f(x_1),\ldots , f(x_n) }[/math]

מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום.

כלומר קיימים [math]\displaystyle{ i_0,i_1 }[/math] עבורם

[math]\displaystyle{ f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\} }[/math]

ואז נקבל

[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1}) }[/math]

ובאופן דומה

[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0}) }[/math]

נניח בלי הגבלת כלליות ש [math]\displaystyle{ x_{i_0}\lt x_{i_1} }[/math]

ראינו שהערך [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n f(x_i) }[/math]

נמצא בין [math]\displaystyle{ f(x_{i_0}) }[/math] ל [math]\displaystyle{ f(x_{i_1}) }[/math]

וברור ש [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה על [math]\displaystyle{ [x_{i_0},x_{i_1}] }[/math]

לכן לפי משפט ערך הביניים קיים

[math]\displaystyle{ c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b) }[/math]

כך ש:

[math]\displaystyle{ f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i) }[/math]

וזה מראה את מה שנדרש