בלוק ז'ורדן
בלוק ז'ורדן הינו מטריצה ריבועית מהצורה
לדוגמא,
,
נזכר בסימון של סכום ישר של מטריצות, לדוגמא:
משפט ז'ורדן
תהי A מטריצה ריבועית, כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן. בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.
הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת
אלגוריתם לז'ירדון מטריצה
תהי A מטריצה כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים.
- נמצא את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב
- עבור כל ע"ע
נמצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל
באופן הבא:
- נסמן ב k את החזקה של הגורם האי פריק
בפולינום המינימלי
- נסמן ב k את החזקה של הגורם האי פריק
- נמצא בסיס ל
באופן הבא:
- נמצא בסיס ל
- נביט במטריצה
ונבחר עמודות
המהוות בסיס למרחב העמודות
- נביט במטריצה
- נפתור את מערכת המשוואות
- נפתור את מערכת המשוואות
- לכל וקטור
בבסיס למרחב הפתרונות למערכת נסמן
. הערה: שימו לב כי תמיד מתקיים
כאשר
הוקטור ה-i בבסיס הסטנדרטי.
- לכל וקטור
- עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול
לבסיס בסדר משמאל לימין.
- עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול
- באופן דומה נמצא בסיס עבור
ונוסיף ממנו איברים לבסיס שמצאנו עד כה ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.
- באופן דומה נמצא בסיס עבור
- נמשיך בתהליך עבור
עד שיהיו לנו וקטורים בבסיס כמספר הריבוי האלגברי של
.
- נמשיך בתהליך עבור
- נאחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה
- נשים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי
הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.
דוגמאות
ז'ירדון של מטריצה ניליפוטנטית
מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:
- ראשית, נחשב את הפולינום האופייני
, כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית
- שנית, נמצא את הפולינום המינימלי
, בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3
- כעת נמצא בסיס ל
מהצורה
באופן הבא:
- נבחר עמודות של המטריצה
המהוות בסיס ל-
- כל עמודה i שבחרנו ניתן להציג כ-
- נבחר עמודות של המטריצה
לכן בסיס למרחב העמודות הינו
- כעת המסלול
הוא חלק של הבסיס המז'רדן משמאל לימין. שימו לב שסדר הוקטורים בבסיס המז'רדן חשוב מאד.
- השלב הבא הוא להשלים את הבסיס שמצאנו (
) לבסיס למרחב
מהצורה
באופן הבא:
- נבחר בסיס
למרחב העמודות
- נפתור את המערכת
על מנת למצוא בסיס ל
- נשמיט וקטורים על מנת שלא תהא תלות לינארית בבסיס שבחרנו עד כה
- נבחר בסיס
בדוגמא שלנו, העמודה הראשונה, השנייה והחמישית מהוות בסיס למרחב העמודות של A:
כעת נפתור את המערכת , זהו בדיוק מרחב האפס של המטריצה שעמודותיה הן
:
כיוון שאלו המקדמים אנו מקבלים את בסיס ל
:
הערה: שימו לב ש כיוון שזו העמודה החמישית
כיוון ש אנו משמטים איבר זה ונשארים עם
- המסלול
משלים לנו את הבסיס המז'רדן.
סיכום
הבסיס המז'רדן הינו
נסמן בP את המטריצה שעמודותיה הן איברי הבסיס
אזי (לא במפתיע) מתקיימת המשוואה הבאה:
כלומר זו צורת הז'ורדן של המטריצה A.
ז'ירדון של מטריצה עם ע"ע יחיד
מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:
- ראשית נמצא את הפולינום האופייני
, כלומר 2 הינו הערך העצמי היחיד
- לפי משפט קיילי המילטון
ולכן
ניליפוטנטית.
- נמצא לה צורת ז'ורדן
- לכן צורת הז'ורדן של המטריצה A הינה
, כאשר הבסיס המז'רדן הוא אותו בסיס המז'רדן את
.
- כעת
, לכן נמצא בסיס ל
- העמודה הראשונה, השנייה והחמישית פורסות את מרחב העמודות של המטריצה ולכן הבסיס הינו
- בסיס זה מייצר שלושה מסלולים מאורך שתים, ולכן מצאנו מיד בסיס מז'רדן:
ושוב, הפלא ופלא, מתקיים: