משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"
באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב [math]\displaystyle{ X }[/math] טען ש־[math]\displaystyle{ P }[/math]") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.
- דוגמה 1: האורח נתקל בתושבים [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]. אין מרגלים, וידוע ש־[math]\displaystyle{ A,C }[/math] מסוגים שונים. [math]\displaystyle{ A }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ B,C }[/math] מאותו סוג, [math]\displaystyle{ B }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] אביר ו־[math]\displaystyle{ C }[/math] טוען שהוא מאותו סוג כמו [math]\displaystyle{ D }[/math]. מה הסוג של כל תושב?
- דוגמה 2: האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?
נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.
חידות ללא מרגלים
| [math]\displaystyle{ P }[/math] | [math]\displaystyle{ Q }[/math] | [math]\displaystyle{ P\leftrightarrow Q }[/math] |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
באלגברה בוליאנית מסמנים [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כפסוק אמת ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כפסוק שקר. נעזר בסימון [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. [math]\displaystyle{ = }[/math] הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־[math]\displaystyle{ P\leftrightarrow Q }[/math] נותן 1 אז נוכל לסמן [math]\displaystyle{ P=Q }[/math]. אם תושב [math]\displaystyle{ X }[/math] הוא אביר אז נסמן [math]\displaystyle{ X=1 }[/math] ואם נוכל – [math]\displaystyle{ X=0 }[/math]. לפיכך, אם [math]\displaystyle{ X }[/math] טוען טענה [math]\displaystyle{ P }[/math] אז [math]\displaystyle{ X=P }[/math].
- דוגמה 1.1: באמצעות סימונים אלו נציג את דוגמה 1 כמערכת משוואות בוליאניות. [math]\displaystyle{ A }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ B,C }[/math] מאותו סוג, כלומר הוא טוען [math]\displaystyle{ B\leftrightarrow C }[/math]. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של [math]\displaystyle{ B,C }[/math] נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־[math]\displaystyle{ A,C }[/math] שונים נובעת משוואה (4):
- באופן שקול:
- כאשר [math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math] מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־[math]\displaystyle{ \oplus }[/math].
בסימונים אלו נגדיר עובדה בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון [math]\displaystyle{ A\leftrightarrow C=0 }[/math] מדוגמה 1.
חידות ללא שאלות
פתרון כמערכת משוואות
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.
ניצור איזומורפיזם מהשדה [math]\displaystyle{ (\mathbb Z_2,+,\cdot) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ (\{0,1\},\nleftrightarrow,\and) }[/math] ע״י [math]\displaystyle{ x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases} }[/math]. מכך נובע ש־[math]\displaystyle{ (\{0,1\},\nleftrightarrow,\and) }[/math] שדה. סכום [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m P_i }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ \forall i:\ P_i\in\{0,1\} }[/math]) יוגדר בתור [math]\displaystyle{ P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m }[/math] ומכפלה [math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^m P_i }[/math] בתור [math]\displaystyle{ P_1\and\dots\and P_m }[/math]. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.
כעת, אם התושבים הם [math]\displaystyle{ X_1,\dots,X_n }[/math] אז נסמן [math]\displaystyle{ \mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix} }[/math]. אם כל [math]\displaystyle{ P_i }[/math] מייצג נעלם [math]\displaystyle{ X_j }[/math] או קבוע [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] אז נוכל להציג כל [math]\displaystyle{ P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1} }[/math] בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, [math]\displaystyle{ B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1 }[/math] מהניסוח המתמטי של דוגמה 1 שקול ל־[math]\displaystyle{ A\nleftrightarrow B=0 }[/math], כלומר ל־[math]\displaystyle{ \sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0 }[/math]. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] ווקטור מקדמים חופשיים [math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \mathbf{Ax}=\mathbf b }[/math].
- דוגמה 1.2: ההצגה המטריציונית של דוגמה 1 היא
הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־[math]\displaystyle{ \mathbf{Ax}=\mathbf b }[/math] אם״ם [math]\displaystyle{ \mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \operatorname{Col}_i(\mathbf A) }[/math] העמודה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math], ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד [math]\displaystyle{ n-\operatorname{rank}(\mathbf A) }[/math]. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור [math]\displaystyle{ 2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)} }[/math]. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] הפיכה.
- דוגמה 1.3: נפתור את דוגמה 1. חישוב פשוט מראה ש־[math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־[math]\displaystyle{ \mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix} }[/math] – התושבים [math]\displaystyle{ A,B }[/math] נוכלים ו־[math]\displaystyle{ C,D }[/math] אבירים.
פתרון באמצעות ניחוש
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.
- דוגמה 1.4: ננחש ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] מדוגמה 1 הוא אביר. מ־(2) נובע ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] אביר ומ־(4) ש־[math]\displaystyle{ C }[/math] נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] נוכל ו־[math]\displaystyle{ C,D }[/math] אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.
באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.
- דוגמה 3: האורח נתקל בתושבים [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math], שאינם מרגלים. [math]\displaystyle{ A }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] נוכל וגם [math]\displaystyle{ C }[/math] אביר, כלומר [math]\displaystyle{ A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1 }[/math]. אם ננחש ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־[math]\displaystyle{ \neg B\and C=0 }[/math]. במקרה הזה אפשר לנחש ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן [math]\displaystyle{ \underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4 }[/math]. המערכת אינה לינארית ולכן אינה פתירה לפני משפט רושה–קפלי.
חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של [math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math] דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, הפתרון לא נותן לנו את התובנות שקיבלנו מפתרון כמערכת משוואות לינאריות, תובנות שיעזרו לנו בחידות שבהן שואלים שאלות.
חידות עם שאלות
שאלה היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה [math]\displaystyle{ X_i\leftrightarrow P }[/math] עבור פסוק לוגי [math]\displaystyle{ P }[/math] כרצוננו. למשל, את השאלה "האם [math]\displaystyle{ X_2 }[/math] אביר?" שמופנת ל־[math]\displaystyle{ X_1 }[/math] נייצג בתור [math]\displaystyle{ X_1\leftrightarrow X_2 }[/math]. נסמן כ־[math]\displaystyle{ n }[/math] את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד [math]\displaystyle{ m }[/math] שאלות. נסמן [math]\displaystyle{ \mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix} }[/math] כווקטור השאלות. תשובה תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־[math]\displaystyle{ \mathbf b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix} }[/math] את וקטור התשובות. [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] מוגדר כמקודם. מההגדרות נובע שאם [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] הפתרון הנכון אז [math]\displaystyle{ \mathbf q=\mathbf b }[/math].
- דוגמה 4: [math]\displaystyle{ m=2,n=3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ X_3 }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ X_1 }[/math] ו/או [math]\displaystyle{ X_2 }[/math] אבירים, דהיינו [math]\displaystyle{ X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1 }[/math]. וקטור השאלות [math]\displaystyle{ \mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix} }[/math] מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־[math]\displaystyle{ \mathbf b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} }[/math], ובאופן כללי [math]\displaystyle{ \mathbf x=\begin{pmatrix}b_2\\b_1\leftrightarrow b_2\\b_1\or b_2\end{pmatrix} }[/math].
חידה בסיסית מסוג זה תבקש למצוא שאלות כך שניתן יהיה להסיק את סוגם של כל התושבים. במקרה שאין עובדות החידות האלה טריוויאליות – ניתן לשאול כל תושב "האם 1=1?" ([math]\displaystyle{ X_i\leftrightarrow1 }[/math]) ולהסיק את סוגו. זאת כמובן כאשר מספר השאלות שמותר לשאול הוא לכל הפחות מספר התושבים, מה שחייב להתקיים: אין עובדות, לכן מספר האפשרויות ל־[math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math] הוא לכל היותר [math]\displaystyle{ 2^m }[/math]. כל פתרון [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] ייתן וקטור תשובות יחיד, לכן מספר האפשרויות ל־[math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] שווה למספר האפשרויות ל־[math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math]. כמו כן, מספר הפתרונות האפשריים הוא [math]\displaystyle{ 2^n }[/math], לפיכך [math]\displaystyle{ 2^n\le2^m }[/math] ולבסוף [math]\displaystyle{ n\le m }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
חידות עם מרגלים
| אופרטור | ערך |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ \neg X }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-X }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\and Y }[/math] | [math]\displaystyle{ XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\uparrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\or Y }[/math] | [math]\displaystyle{ X+Y-XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\downarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-X-Y+XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\rightarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-X+XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\nrightarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ X-XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\leftarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-Y+XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\nleftarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ Y-XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\leftrightarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-X-Y+2XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\nleftrightarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ X+Y-2XY }[/math] |
במקרה הזה נצטרך להכליל כמה הגדרות ולהגדיר כמה דברים חדשים. נרחיב את יחס השקילות [math]\displaystyle{ = }[/math] לתאר שיוויון של מספרים ממשיים בין 0 ל־1. אם תושב [math]\displaystyle{ X }[/math] מרגל נסמן [math]\displaystyle{ X=p }[/math] עבור קבוע [math]\displaystyle{ p\in(0,1) }[/math] כלשהו. האופרטורים [math]\displaystyle{ \neg,\and,\leftrightarrow,\dots }[/math] מוגדרים מחדש כמפורט בטבלה משמאל. לפי ההגדרות החדשות [math]\displaystyle{ X\and Y }[/math], למשל, הוא ההסברות שהתושבים [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] ידברו אמת בהנחה שהתושב [math]\displaystyle{ X }[/math] דובר אמת בהסברות [math]\displaystyle{ X }[/math] והתושב [math]\displaystyle{ Y }[/math] – בהסתברות [math]\displaystyle{ Y }[/math]. הגדרות אלה מכלילות את ההגדרות מאלגברה בוליאנית, אך יש כמה כללים שהאופרטורים כבר לא מקיימים. כללי דה־מורגן, למשל, נשמרים, בעוד שלא תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ X\leftrightarrow Y=(X\rightarrow Y)\and(X\leftarrow Y) }[/math]. לבסוף, נגדיר אופרטור [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] ע״י [math]\displaystyle{ X\Leftrightarrow Y=\begin{cases}1,&X=Y\\0,&\text{else}\end{cases} }[/math] (בפרט, אם [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] תושבים אז [math]\displaystyle{ X\Leftrightarrow Y }[/math] הוא הערך הבוליאני שמציין אם הם מאותו סוג. אם [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] אינם מרגלים אז [math]\displaystyle{ X\Leftrightarrow Y=X\leftrightarrow Y }[/math]).
- דוגמה 6: האורח נתקל בתושבים [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math]. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. [math]\displaystyle{ A }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ C }[/math] נוכל, ו־[math]\displaystyle{ B }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] שיקר הרגע. לכן מתקיים:
- נעיר שמשוואה (1) לא רק נגררת מהעובדה שיש אביר, נוכל ומרגל, אלא שקולה לה. הוכחה: אגף ימין שלה אינו 0 או 1 ולכן לפחות אחד מ־[math]\displaystyle{ A,B,C }[/math] מרגל. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] מרגל ולכן [math]\displaystyle{ p\leftrightarrow B\leftrightarrow C=1-p-(B\leftrightarrow C)+2p(B\leftrightarrow C)=1-p }[/math], ומכך נקבל [math]\displaystyle{ (B\leftrightarrow C)(1-2p)=0 }[/math]. זה צריך להתקיים לכל [math]\displaystyle{ p\in(0,1) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ B\leftrightarrow C=0 }[/math]. ההסתברות ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] אמר אמת אם״ם [math]\displaystyle{ C }[/math] אמר אמת תהא תמיד קטנה מ־1 אם לפחות אחד מהם מרגל. אם [math]\displaystyle{ B=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ C=1 }[/math] ואם [math]\displaystyle{ B=1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ C=0 }[/math], כלומר אכן יש אביר אחד, נוכל אחד ומרגל אחד.
חידות ללא שאלות
פתרון כמערכת משוואות
פתרון באמצעות ניחוש
פותרים כמו באותו אופן כמו במקרה שאין מרגלים, רק שבמקום לבדוק עד 2 סוגים בודקים עד 3.