שאלה 2
סעיף א'
הוכח את משפט אוילר על החזקות ופתור את המשוואה
פתרון
משפט אוילר על החזקות אומר שאם אז
. אבל אם
אז לפי משפט,
. אחת התוצאות של משפט לגרנז' אומרת שאם מעלים איבר בחזקת סדר של החבורה, נקבל את הנטרלי של החבורה. במקרה הזה, הנטרלי הוא 1 והסדר של החבורה הוא
. נזכור שההגדרה של
היא בעצם
ולכן קיבלנו
.
כעת נפתור את המשוואה. כיוון ש- 31 ראשוני, אז לפי משפט וילסון, וכיוון ש-30 הפיך ב-
אפשר להסיק ש-
. קיבלנו:
.
נזכור ש- (אם p ראשוני אז
) ולכן לפי המשפט שהוכחנו,
ומכאן
. קל לחשב ש-
ולכן קיבלנו את המשוואה:
. עוד נראה ש-
ולכן
ומכאן ש-
סעיף ב'
האם קיים מונומורפיזם ?
אינטואיציה ראשונית לפתרון
נשים לב ש- . לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות:
או
. כיוון ש-
אבלית ו-
לא, נקבל כי
ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ-
ל-
, אזי
ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא תהיה איזומורפית ל-
). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב-
ולשלוח את אחד מהיוצרים של
לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.
פתרון
נשלח את 2 (קל לראות שהוא אחד מהיוצרים של ) לתמורה
. זוהי תמורה מסדר 6 ולכן סיימנו.
סעיך ג'
הוכיחו: בחבורת מנה הסדר של כל איבר הוא סופי, אבל החבורה אינה נוצרת סופית.
פתרון
כל איבר בחבורת המנה הוא מהצורה ולכן נראה כי
ולכן הסדר של האיבר קטן מ-n, בפרט סופי.
קל לראות ש- איזומורפית לקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 (לא כולל 1). הוכחנו בתרגול ובבוחן ש-
לא נוצרת סופית, נשתמש באותה הוכחה להוכיח שקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 לא נוצרת סופית