שיחה:88-222 תשעד סמסטר ב נוביק
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
שאלות
המרחב [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math]
בתרגול האחרון הגדרנו את: [math]\displaystyle{ l_\infty=\{(x_n)|\ \forall n\in \mathbb{N}:x_n\in \mathbb{R} \wedge sup|x_n|\lt \infty \} }[/math]
(דמיינו שיש מסביב להגדרה סוגריים מסולסלים, משום מה זה לא מצייר לי אותם. גם בכל ה-[math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] אמורים להיות סוגריים מסולסלים...)
כלומר, [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math] הוא מרחב של סדרות ממשיות חסומות.
אחר כך הגדרנו סדרה [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] על ידי: [math]\displaystyle{ e_1=(1,0,0,0,...) }[/math] [math]\displaystyle{ e_2=(0,1,0,0,...) }[/math] [math]\displaystyle{ e_3=(0,0,1,0,...) }[/math] וכן הלאה.
ואז התבקשנו להראות ש-[math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] לא מתכנסת ב-[math]\displaystyle{ l_\infty }[/math] (למרות שהיא כן מתכנסת רכיב-רכיב).
אבל, למיטב הבנתי, [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] בכלל לא שייכת למרחב [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math], כי איבריה לא ממשיים (לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] סדרת הרכיבים ה-[math]\displaystyle{ i }[/math]-ים היא ממשית, אבל [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] היא סדרה וקטורית). לא?...
- הסדרה [math]\displaystyle{ \{e_n\}_{n\in \mathbb N} }[/math] אכן לא שייכת ל [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math] היא מוכלת בו וזה מה שצריך. כלומר לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ e_n\in l_\infty }[/math]. תמיד כשמדברים על התכנסות של סדרה במרחב מטרי לנקודה אז הסדרה אמורה להיות מוכלת במרחב. אצלנו מדובר בסדרה של סדרות כי כפי שאמרת אכן כל איבר במרחב עפ"י ההגדרה הוא סדרה חסומה.--מני (שיחה) 06:22, 9 במרץ 2014 (EDT)
הערה לגבי הכתיבה המתמטית:
- שימו לב שהסינטקס של סימן השייכות הוא "in\"
- על מנת לעשות סוגריים מסולסלים בתוך הפורמט המתמטי, יש לשים לפניהם את הלוכסן: "{\"
--לואי (שיחה) 07:47, 9 במרץ 2014 (EDT)
אוקיי, הבנתי ואתה צודק. הסדרה לא צריכה להיות שייכת למרחב, אלא האיברים שלה.
אבל עכשיו יש לי שאלה נוספת...כל איבר (במרחב וכן בסדרה [math]\displaystyle{ \{e_n\}_{n\in \mathbb N} }[/math]) הוא סדרה או וקטור אינסופי. אז איך מוגדרת המטריקה במרחב? מה המרחק, נניח, בין [math]\displaystyle{ e_1 }[/math] לבין [math]\displaystyle{ e_2 }[/math]?
- למעשה [math]\displaystyle{ l_\infty }[/math] זו הקבוצה של הסדרות הממשיות החסומות עם נורמה ספציפית שהיא הסורפמום של הערכים המוחלטים של איברי הסדרה. תמיד כשנדבר על מטריקה בסיטואציה של מרחב נורמי נתכוון למטריקה המושרית מהנורמה. המרחק בין שני איברים הוא הנורמה של ההפרש. בוקטור [math]\displaystyle{ e_1-e_2 }[/math] יש 1 ברכיב הראשון, מינוס 1 בשני ואפס בכל השאר. לכן הסופרמום של הערכים המוחלטים הוא 1. אם ממש רוצים לכתוב פורמלית כנראה שצריך לעבוד עם אינדקסציה כפולה-
[math]\displaystyle{ d(e_1,e_2)=||e_1-e_2||=\sup\{|(e_1-e_2)_k|:k\in \mathbb N\}=1 }[/math]. באופן כללי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי הרכיב הקיי של איבר [math]\displaystyle{ e_n }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ (e_n)_k=1 }[/math] אם [math]\displaystyle{ n=k }[/math] ואפס אחרת. כך גם אפשר להגיע ל [math]\displaystyle{ \sup\{|(e_1-e_2)_k|:k\in \mathbb N\}=1 }[/math] לפי מה שציינתי קודם. --מני (שיחה) 18:36, 9 במרץ 2014 (EDT)
הבנתי. תודה!
עזרה בהוכחת כיוון במשפט מההרצאה
שלום.המרצה נתן משפט בו יש תכונות שקולות לגבי נקודות הצטברות. אחד מהכיוונים שהוא אמר להוכיח ואני לא בטוחה איך לעשות זאת זה כדלקמן:
"אם יש סדרת נקודות {x_n} שבה p לא מופיע וגם x_n->p אזי בכל סביבה של p יש אינסוף נקודות של A.
הנתונים הם:M מרחב מטרי ו-A מוכל ב-M. ובנוסף p שייכת ל-A
תרגיל 2, שאלה 4
הסבר קצת יותר מפורט בשאלה 4 תרגיל בית 2:האם זה פשוט לקחת כל רכיב בסדרה ולמצוא לה סופרמום ואז זה הגבול? או שאולי אני מתבלבלת
תודה מראש
- תחילה שימי לב שבכל רכיב אין מדובר בסופרמום. למשל, ברכיב השלישי האיבר הראשון יהיה [math]\displaystyle{ \frac{4}{3} }[/math], שהוא יותר גדול מהגבול, ולכן הגבול הוא אינו הסופרמום.
- שימי לב שהתכנסות רכיב-רכיב אינה מספיקה להתכנסות. מצד שני, זה כן אפשרי להשתמש בגבול רכיב-רכיב על מנת לקבל אינטואיציה/לנחש את הגבול.
- הערה כללית: להבא נא להפריד שאלות שלא קשורות זו לזו. תודה :)