קוד:מבחן לוגריתמי

\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{-\ln(a_n)}{\ln(n)} =\lim_{n\to \infty} \log_n \frac{1}{a_n} = \alpha $ (אם הטור הזה מועמד להתכנסות אז האיבר הכללי שואף ל-0 ולכן אפשר לראות שבכל מקרה $\alpha $ חייב להיות חיובי במקרה זה).

1. אם $\alpha>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתכנס

2. אם $\alpha<1 $ הטור מתבדר

\underline{הוכחה:}

1. $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} : \log_n \frac{1}{a_n} >\alpha' $ עבור $1<\alpha'<\alpha $ . קיבלנו $\frac{1}{a_n}>n^{\alpha'} $ ואז כמובן $\frac{1}{n^{\alpha'}} > a_n $ והטור $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{\alpha'}} $ מתכנס (הוכחנו כשדיברנו על מבחן העיבוי) ולכן, ממבחן ההשוואה הראשון, הטור שלנו מתכנס

2. ההוכחה אנלוגית ממש רק שניקח $\alpha<\alpha'<1 $ ונקבל טור שהוכחנו שהוא מתבדר כשדיברנו על מבחן העיבוי.

$\\$ דוגמה: $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\ln(\ln(n))}} $ מתכנס או מתבדר? נראה כי $\lim_{n\to\infty} \log_n (n^{\ln(\ln(n))}) = \lim_{n\to\infty} \ln(\ln(n))=\infty $ ולכן ממבחן לוגריתמי הטור מתכנס