קוד:משפט הערך הממוצע של קושי

\begin{thm} תהיינה $f,g\in D(a,b)\cap C[a,b] $ אזי $\exists c\in (a,b) : f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) $ , ואם $g'(c),g(b)-g(a)\neq 0 $ אפשר לכתוב $\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} $ . (נשים לב שאם $g(x)=x $ נקבל את משפט ערך הממוצע של לגרנז') \end{thm}

\begin{proof} נגדיר $$F(x)=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x) $$ ע"י הצבה נקבל ש- $F(a)=F(b)=g(b)f(a)-f(b)g(a) $ וממשפט רול נובע $$\exists c : F'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)-(f(b)-f(a))g'(c)=0 $$ מהעברת אגפים נקבל את הדרוש. \end{proof}