את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה:
, ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי
. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-
אז היא אינטגרבילית מקומית.
תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו להיות
בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-
מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר
ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
- שני האינטגרלים
מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים
מתכנסים.
- עפ"י משפט 2,
מתכנס אם"ם
מתכנס. באותו אופן
מתכנס אם"ם
מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- עפ"י משפט 2,
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים
מתכנסים אז הם שווים ל-
.
- ובכן עפ"י משפט 2,
וגם
. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
- ובכן עפ"י משפט 2,
אינטגרל לא אמיתי, סוג II
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-
f אינטגרבילית בקטע
(למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-
). לכן נגדיר
אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל
מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע
. אם אין גבול אומרים ש-
מתבדר.
דוגמאות
- נקח
ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי
. עבור
נקבל
והאינטגרל מתבדר. עבור
נקבל
.
-
. נציב
וכן
לקבל
, ובפרט מתכנס.
- דרך כתיבה מקוצרת:
.
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-.
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז
אינטגרבילית בקטע
ומתקיים
.
משפט 2
עבור f אינטגרבילית בקטע
אם"ם היא אינטגרבילית בקטע
ואם כן
.
משפט 3
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי
קיים אם"ם f חסומה בקטע
.
משפט 4
אם אז האינטגרל
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
.
משפט 5 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- מתקיים
.
- אם
מתכנס אז
מתכנס.
- אם
מתבדר אז
מתבדר.
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש- ונניח שקיים ממש
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
מסקנה
אם בפרט אז
מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
משפט 7
האינטגרל מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי:
משפט 8
אם מתכנס בהחלט אז
מתכנס.
באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים
). כמו כן, אם f מוגדרת ב-
ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים
עבור
כלשהו ונאמר ש-
מתכנס אם"ם שני האינטגרלים
מתכנסים.
אם f מוגדרת ב- למעט איזו נקודת בייניים
שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר
כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.