משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש
פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.
הוכחה
תהי רציפה על קטע סגור וסופי . נניח בשלילה שהיא לא-רציפה שם במ"ש. לכן קיים , כך שלכל יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
כך שמתקיים
אבל
לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל- תת-סדרה מתכנסת (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).
בנוסף, לתת הסדרה יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:
אבל כיון שזהו קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,
בסתירה.