מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
לכן החל ממקום מסוים בסדרה, .
לכן
לכן
לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי .
לכן החל ממקום מסוים בסדרה,
לכן
אבל הוא טור הנדסי מתכנס
לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.