פונקציות
הגדרה: יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי
דוגמא:
- אזי התחום הוא והתמונה הינה
הגדרה:
- יחס R מ-A ל-B נקרא על אם כלומר
- יחס R מ-A ל-B נקרא מלא אם כלומר
- יחס R נקרא חד ערכי אם כלומר אין איבר מ A שמתאים ל-2 איברים שונים מ B.
הגדרה:
יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה . ובאופן כללי . (A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו B נקרא הטווח של הפונקציה)
פונקציה נקראת חד-חד ערכי אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
חח"ע אמ"מ אמ"מ
הגדרה:
תהא A קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה המקיימת . נהוג לסמנה: פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
למשל:
- כאשר ( חח"ע ואינה על)
- כאשר ( לא מוגדר כי )
תרגיל
יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע
הוכחה: נסמן . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
נניח חח"ע אזי כיוון ש ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן על.
נניח על. נניח בשלילה ש אינה חח"ע אזי (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז אינה על -סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם A וB קבוצות אינסופיות. (מצאו דוגמא)
הרכבת פונקציות
הגדרה: יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של על היא פונקציה המוגדרת על ידי הכלל
הערה: אם מתיחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם חח"ע אזי f חח"ע.
- אם על אזי g על.
פונקציות הפיכות
הערה: לכל פונקציה מתקיים וגם
הגדרה: תהי פונקציה . פונקציה תיקרא הפונקציה ההופכית ל- אם וגם . במקרה זה נסמן את על ידי , ונאמר שהפונקציה היא הפיכה.
תרגיל.
הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
הוכחה:
אם f הפיכה, אזי וגם . מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי המשפט הקודם.
אם f חח"ע ועל, אז נגדיר ע"י: עבור קיים (כי f על) יחיד (כי f חח"ע) כך ש . נגדיר . תרגיל: בדקו ש g ההופכית של f.