פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע אם לכל
קיים
כך שלכל
אם
אז
. תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.
משפט
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע
הוכחה
תהי בעלת נגזרת חסומה בקטע
. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות
בקטע המקיימות
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
נובע מכאן כי הסדרה
אינה חסומה.
אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות בין
כך ש-
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.