הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר
.
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר
. במילים אחרות
. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה
כאשר
. כלומר,
. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים
.
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל:
, וכן
.
חלק ממשי וחלק מדומה
יהי . נגדיר את החלק הממשי שלו להיות:
, ואת החלק המדומה שלו להיות
. שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!
דוגמא: .
שימו לב שמספר מרוכב הוא ממשי אם ורק אם
.
מספר מרוכב נקרא מדומה טהור אם
. למשל
.
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י:
. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים:
.
3. אי שיוויון המשולש: .
תרגיל
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש
ולכן
. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל:
. נעביר אגפים לקבל
.
בדומה, נסמן . נשים לב ש
ולכן
. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל:
. נעביר אגפים לקבל
.
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .
צמוד
לכל מספר מרוכב נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות
. לדוג':
.
תכונות הצמוד
1. כפליות: .
2. חיבוריות: .
3. אותה נורמה: .
ראיתם בהרצאה:
הוכיחו שלכל מספר מרוכב מתקיים:
1. .
2. .
3.
פתרון: נסמן ונחשב:
.
.
תרגיל
מצאו מספר מרוכב המקיים:
פתרון: נסמן , לכן
. בנוסף,
, ולכן
.
מציאת הופכי וחילוק
עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.
ש: איך נמצא את ההופכי?
ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: .
תרגיל
מצא את ההופכי של .
פתרון: לפי המסקנה נקבל: .
תרגיל
הצג את הביטוי הבא בצורה וציין מהם
. הביטוי הינו:
פתרון:
נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה .
נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי וכעת רשמנו
לפיכך נקבל:
.
.
.
.
תרגילים
תרגיל
פתור את המשוואה הבאה:
1. .
פתרון
נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:
. אבל איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו
, כלומר,
. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם
ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:
.
מהמשוואה השנייה נקבל , ולכן לפי המשוואה הראשונה נקבל
. קיבלנו שני פתרונות:
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \Rightarro לא מוכרת): a=1\Rightarrow b=1\Rightarro w=1+i
.
בסה"כ נקבל , ולכן בסה"כ:
.
תרגיל
א. פתרו את הנשוואה .
ב. הוכיחו שלמשוואה אין פתרון.
פתרון: נסמן, וניזכר שמתקיים
, ונקבל
. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:
.
לכן , כלומר,
.
ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה
לכל מספר מרוכב
.