אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2

חזרה ל מערכי תרגול.

הצגה פולרית של מספרים מרוכבים

נתבונן במספר מרוכב [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math], נסמן ב[math]\displaystyle{ \theta }[/math] את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב[math]\displaystyle{ r }[/math] את הנורמה, אז נקבל: [math]\displaystyle{ \cos \theta = \frac{a}{r},\sin \theta = \frac{b}{r}, \tan \theta = \frac{b}{a} }[/math]. ולכן נקבל [math]\displaystyle{ z=r\cdot \cos \theta +r\cdot \sin \theta i }[/math], שמסומן בקצרה: [math]\displaystyle{ r\text{cis} \theta }[/math].

מעבר בין הצגות

מקרטזית לפולרית: בהינתן [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math], ניקח [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2},\theta \text{ such that} \tan \theta =\frac{b}{a} }[/math] עד כדי הוספת [math]\displaystyle{ \pi }[/math] לפי מיקום המספר על הצירים.

לדוגמא: עבור המספר [math]\displaystyle{ -0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}i }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ r=\sqrt{0.25+\frac{3}{4}}=1,\theta=60+180=240=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3} }[/math].

מפולרית לקרטזית: אם [math]\displaystyle{ z=r\text{cis} \theta }[/math] אז [math]\displaystyle{ a=r\cos \theta,b=r\sin \theta }[/math].

תרגיל

חשבו:

1. [math]\displaystyle{ 5\text{cis}60\cdot 7\text{cis}45 }[/math].

2. [math]\displaystyle{ 2\text{cis}30+4\text{cis}135 }[/math].

פתרון

1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות: [math]\displaystyle{ 35\text{cis}105 }[/math]

2. עוברים לקרטזית ושם מחברים: [math]\displaystyle{ (2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i)+(4\cdot -\frac{sqrt{2}}{2} +4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+(1+2\sqrt{2})i }[/math]

נוסחת דה-מואבר

מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: [math]\displaystyle{ (r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta) }[/math].

לדוגמא: [math]\displaystyle{ (\sqrt{2}\text{cis}60)^3=2\sqrt{2}\text{cis}180=-2\sqrt{2} }[/math].

כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם [math]\displaystyle{ (r\text{cis}\theta)^n=p\text{cis}\phi }[/math] אז [math]\displaystyle{ r=\sqrt[n]{p}, n\cdot \theta=\phi + 2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\phi +2\pi k}{n}=\frac{\phi}{n}+\frac{2\pi k}{n} }[/math].

תרגיל

חשב את [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{8\text{cis}\frac{\pi}{4}} }[/math]

פתרון

נקבל [math]\displaystyle{ r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12} }[/math]. נשים לב שאם ניקח [math]\displaystyle{ k=3 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi }[/math], ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור [math]\displaystyle{ k=0 }[/math].

שורשים של פולינם

תרגיל

פתרו: [math]\displaystyle{ z^5=-2 }[/math].

פתרון

ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: [math]\displaystyle{ -2=2cis\pi }[/math]. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: [math]\displaystyle{ z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4 }[/math]...

ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום [math]\displaystyle{ x^5+2 }[/math]. ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה [math]\displaystyle{ (x-x_0) }[/math]. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת ([math]\displaystyle{ a=0 }[/math]) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה [math]\displaystyle{ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2} }[/math]. כך נמצא את [math]\displaystyle{ b,c }[/math].