חזרה ל מערכי תרגול.
הצגה פולרית של מספרים מרוכבים
נתבונן במספר מרוכב , נסמן ב
את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב
את הנורמה, אז נקבל:
. ולכן נקבל
, שמסומן בקצרה:
.
מעבר בין הצגות
מקרטזית לפולרית: בהינתן , ניקח
עד כדי הוספת
לפי מיקום המספר על הצירים.
לדוגמא: עבור המספר נקבל
.
מפולרית לקרטזית: אם אז
.
תרגיל
חשבו:
1. .
2. .
פתרון
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות:
2. עוברים לקרטזית ושם מחברים:
נוסחת דה-מואבר
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: .
לדוגמא: .
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם אז
.
תרגיל
חשב את
פתרון
נקבל . נשים לב שאם ניקח
נקבל
, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור
.
שורשים של פולינם
תרגיל
פתרו: .
פתרון
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: . עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים:
...
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום . ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה
. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (
) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה
. כך נמצא את
.