חזרה ל מערכי תרגול.
הומוגנית עם מקדמים קבועים
המד"ר היא מהצורה , ויש לה משוואה אופיינית: . פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות:
1. דסקרמיננטה חיובית: במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית , ופיתרון המד"ר הוא: .
2. דסקרמיננטה שלילית: במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית , ופתרון המד"ר הוא: .
3. דסקרמיננטה = : במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית , ופתרון המד"ר הוא .
תרגילים
נפתור את המד"ר הבאות:
1.
2.
3.
4.
פתרון
1. המשוואה האופיינית היא שזה בעצם , ונקבל ולכן פתרון המד"ר הוא: .
2. המשוואה האופיינית היא , נוסחת השורשים: . ונקבל שהפתרון הוא: .
3. המשוואה האופיינית היא . נוסחת השורשים: וכו'.
4. המשוואה האופיינית היא , ולכן הפתרון הוא: .
לא הומוגנית עם מקדמים קבועים
מד"ר מהצורה פותרים בצורה הבאה: ראשית פותרים את המד"ר כהומוגנית. שנית, מנחשים פתרון פרטי כפי שנלמד במקרים מסויימים, ואז הסכום שלהם הוא פתרון כללי למד"ר. להלן המקרים המסויימים:
מקרה הפולינום
אם פולינום. ננחש שהפתרון הוא פולינום ריבועי (כי זה מה שתמר מצפה מכם בקורס), ואז נפתור שלוש משוואות בשלושה נעלמים. אם אין פתרון למערכת, מכפלים את הניחוש ב-.
תרגיל
פתרו את המד"ר הבאות:
1.
2.
מקרה האקספוננט
אם אז ננחש פתרון פרטי מהצורה , ונפתור מערכת משוואות. גם כאן, אם אין פתרון למערכת (אפשר להבין מראש, אם הפתרון הזה הוא כבר פתרון של ההומוגנית) אז מכפילים את הניחוש ב-.
תרגיל
פתרו את המד"ר הבאות:
1.
2.