מבחנים לדוגמא
תקציר ההרצאות
- ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס.
הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה
הקדמה - גלים
- מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
- לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
- אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.
- מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
- למדנו במד"ר על המשוואה
המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
- זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
- הפתרון הכללי למד"ר הוא
.
- הקבוע
קובע את התדר של כל גל.
- הקבועים
קובעים את האמפליטודה של כל גל.
- מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה
, הקבוע
קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
- בפונקציה
- האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי
ניתן להציג כגל יחיד?
- תשובה: כן.
- הוכחה:
- נסמן
- כלומר
- נסמן
- שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא
.
- האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
- בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
- האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
- למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
- במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.
טורי פורייה ומקדמי פוריה
- טור פורייה הוא טור מהצורה
- אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים
?
חישובים להקדמה
- ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
- כעת, לכל
נקבל:
- עבור
נקבל:
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש
.
- באופן דומה, לכל
נקבל:
- עבור
נקבל:
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש
.
- עבור
נקבל:
כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
- ולבסוף, עבור
נקבל
- שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.
- הערה חשובה:
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה
מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה
מקדמי הטור
- כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
- כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
- לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
- שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור
.
- באופן דומה נקבל כי
- הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
- השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
- באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור
.
- לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
- תהי פונקציה
, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה
על ידי:
- לכל
ולכל
נגדיר
.
- ברור ש
, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
- ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת
- תהי פונקציה
- לדוגמא, ההמשך המחזורי של
:
דוגמא
- נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של
- שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.
.
- שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.
- שימו לב כי לכל
מתקיים כי
- סה"כ אם ההמשך המחזורי של
שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:
- נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב
.
- ונקבל את הסכום המפורסם
הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה
מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים
- פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
- 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
- 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
- למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
- פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.
- E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין
מעל השדה
, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
- לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
היא מכפלה פנימית מעל E.
- בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
- כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
- נביט בנורמה המושרית
- כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
- יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
- ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.
- תהי קבוצה אורתונורמלית סופית
, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
- לכל וקטור
נגדיר את ההיטל של
על W על ידי
- נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:
- מתקיים כי
- הוכחה:
- המעבר האחרון נכון כיוון ש
אורתונורמלית.
- מתקיים כי
- הוכחה:
- נזכור כי
.
- לכן קיבלנו כי
- מסקנה מיידית:
אי שיוויון בסל
- כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית
.
- לכל
מתקיים כי
- הוכחה:
- ראינו שלכל n מתקיים כי
.
- כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי
ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.
- בפרט נובע כי
למת רימן לבג
- ראינו כי
היא קבוצה אורתונורמלית ב
(כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
- כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
- לכל
הגדרנו
, ו
- נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
- כלומר:
- למת רימן-לבג: תהי
רציפה למקוטעין בקטע
, אזי:
- הוכחה:
- נגדיר את שתי הפונקציות
ו
- קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי
.
- ביחד נקבל כי
גרעין דיריכלה
- גרעין דיריכלה הוא הפונקציה
- טענה:
בכל נקודה
- הוכחה:
- נכפל ב
ונקבל בצד שמאל:
- נבחין בזהות הטריגונומטרית
- ובפרט
- ביחד נקבל
- נשים לב כי הפונקציה
מתאפסת בנקודות
, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
- זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
- כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי
כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות
.
- נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
- ראשית, לכל
מתקיים:
- לכן נקבל:
הסכומים החלקיים של טור פוריה
- תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה
שהיא מחזורית
:
- נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:
- זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:
- שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.
- טענה: תהי
פונקציה מחזורית
. אזי לכל
מתקיים כי:
- כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך
.
- הוכחה:
- נבצע הצבה
באינטגרל השני ונקבל:
- ביחד נקבל כי:
- נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:
- כיוון שגרעין דיריכלה ו
הן מחזוריות, נקבל:
הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה
סימונים והגדרות
- נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב
.
- נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב
.
- שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.
- נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י
.
- נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י
.
- שימו לב: ייתכן ש
אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.
דוגמא:
- נביט בפונקציה
- מתקיים כי
, ו
.
- כמו כן מתקיים כי
.
כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.
משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה
- תהי
פונקציה מחזורית
, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
- אזי לכל
הטור עם מקדמי הפוריה של
מתכנס:
- בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.
הוכחה
- תהי נקודה
.
- נביט בפונקציה
- כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש
רציפה למקוטעין בקטע
.
- לפי למת רימן-לבג נובע כי:
- כלומר:
- כיוון ש
- נובע כי:
- באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:
- ולכן סה"כ נקבל כי:
דוגמאות
דוגמא 1
- תהי
ההמשך המחזורי של
.
- כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
- כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל
מתקיים כי
.
- כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
- לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה
, מתקיים כי:
.
- בפרט, לכל נקודה
מתקיים כי:
- עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
- קל לראות שאכן לכל
נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).
- נציב לדוגמא
ונקבל:
- לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:
- שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של
.
דוגמא 2
- כעת, תהי
ההמשך המחזורי של
.
- הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
- הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות
.
- בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל
(כיוון שהנגזרת של
היא
).
- סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).
- כלומר קיבלנו שלכל
מתקיים כי:
- שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של
, נקבל את טור הפורייה של
.
- האם זה מפתיע?
דוגמא 3
- תהי
ההמשך המחזורי של הפונקציה
- שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.
- נחשב את מקדמי הפורייה:
- סה"כ שלכל
מתקיים כי:
- שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל
בקטע
.
- באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.
טור הנגזרת
- תהי
רציפה בקטע
כך שהנגזרת שלה
רציפה למקוטעין בקטע.
שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים
- שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
- כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
- בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
- אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, מרבית ערכי f יצטמצמו, ונשאר רק עם הקצוות.
- לדוגמא:
- כלומר קיבלנו כי
, כאשר
חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת
- נסמן את מקדמי הפורייה של
ב
- נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב
:
- כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:
- אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:
- במקרה המיוחד בו
מתקיים כי
ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:
דוגמאות
דוגמא 1
- נזכר בטור הפורייה של
:
- נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של
, נסמנם ב
.
- לכל
נקבל כי:
- כמו כן נחשב את המקדם הראשון:
- נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של
הוא:
דוגמא 2
- נחשב את טור הפורייה של
.
- נסמן את טור הפורייה של
ב:
- כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
- מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:
- כאשר
- ביחד נקבל את המשוואות:
- נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:
- ולכן
- סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של
הינו:
- כיוון שלהמשך המחזורי של
יש אי רציפות קפיצתית ב
, טור הפורייה שם מתכנס לממוצע
- כלומר, אם נציב
נקבל:
- נפשט:
הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל
תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה
- תהי
גזירה בקטע
המקיימת
, כך ש
רציפה למקוטעין.
- אזי טור הפורייה של
מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.
- לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
- נסמן את טור הפורייה ב
- ברור כי
- לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.
- נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב
.
- כבר חישבנו ש:
- לכן ביחד נקבל כי
- לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:
- לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור
מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של
.
- (זכרו שמותר להניח כי
על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
- (זכרו שמותר להניח כי
- לכן
חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
- לכן סה"כ
חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.
- סה"כ קיבלנו כי
מתכנס.
- לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר
ו
מתכנסים, כפי שרצינו.