אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ z_n\to 0 }[/math] קיים הגבול [math]\displaystyle{ \underset{z_n\to 0}{\lim}\frac{f(z_n+z_0)-f(z_0)}{z_n} }[/math], ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

דוגמאות

תרגיל

האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(z)=z^2 }[/math] גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

תרגיל

האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2a-3bi }[/math] גזירה?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

תרגיל

א. תהי [math]\displaystyle{ f(z)=z^n }[/math] הוכיחו: [math]\displaystyle{ f'(z)=nz^{n-1} }[/math].

ב. יהי [math]\displaystyle{ P(z)={\sum}_{k=0}^{n} \alpha_kz^k }[/math] פולינום. הוכיחו ש- [math]\displaystyle{ P'(z)={\sum}_{k=1}^{n} k\alpha_kz^{k-1} }[/math].

פתרון

א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.

ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.

תנאי קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תהי [math]\displaystyle{ U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math] פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.

דוגמא: [math]\displaystyle{ U(x,y)=x^2+2xy }[/math] אז הנגזרות החלקיות הן: [math]\displaystyle{ U_x=2x+2y,U_y=2x }[/math].

עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.

כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של [math]\displaystyle{ U,V }[/math] המתאימות.

תנאי קושי רימן

תהי [math]\displaystyle{ f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i }[/math] פונקציה מרוכבת. [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ z_0=(x_o,y_0) }[/math] אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases} }[/math].

ובמקרה זה מתקיים: [math]\displaystyle{ f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i }[/math].

תרגיל

בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו:

1. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=e^x\text{cis}y }[/math]

2. [math]\displaystyle{ f(z)=z+Re(z) }[/math]

3. [math]\displaystyle{ f(z)=(z-1)(Re(z))^2 }[/math]

4. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=x+y^3i }[/math]

פתרון

1. נקבל: [math]\displaystyle{ U_x=e^x\cos x,U_y=-e^x\sin y,V_x=e^x\sin y,V_y=e^x\cos y }[/math]. ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: [math]\displaystyle{ U_x+V_xi=e^x\cos x+e^x\sin yi=e^x\text{cis}y }[/math]. שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!!

2. לא גזירה באף נקודה כי נקבל [math]\displaystyle{ Re(z)=f(z)-z }[/math], ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה.

3. נרשום: [math]\displaystyle{ f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi }[/math]. נמצא נגזרות חלקיות: [math]\displaystyle{ U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2 }[/math]. נבדוק מתי התנאי מתקיים:

[math]\displaystyle{ U_x=v_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2 }[/math].

[math]\displaystyle{ U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0 }[/math].

שני התנאים מתקיים כאשר: [math]\displaystyle{ (x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0) }[/math]. כלומר גזירה בצירה המדומה, ובנקודה [math]\displaystyle{ (2,0) }[/math].

הנגזרת שם היא: [math]\displaystyle{ U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi }[/math]. נשים לב שעל הציר המדומה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה [math]\displaystyle{ (2,0) }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8 }[/math].

4. נקבל את הנגזרות החלקיות: [math]\displaystyle{ U_x=1,U_y=0V_x=0,V_y=3y^2 }[/math]. נבדוק את התנאי:

[math]\displaystyle{ U_x=V_y\iff 1=3y^2\iff y^2=\frac{1}{3}\iff y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} }[/math].

[math]\displaystyle{ U_y=-V_x }[/math] תמיד.

לכן רק בנקודות [math]\displaystyle{ (x,\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) }[/math] הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: [math]\displaystyle{ U_x+V_xi=1 }[/math].

משפט

פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.

תרגיל

הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ f=U+Vi }[/math] גזירה והחלק הממשי של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא פונקציה קבועה אז [math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה.

פתרון

[math]\displaystyle{ U }[/math] קבועה ולכן [math]\displaystyle{ U_x=U_y=0 }[/math], וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן [math]\displaystyle{ V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0 }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ V }[/math] קבועה. ולכן[math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה.